Номер 944, страница 181 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Площадь бассейна, $S = 10 \, \text{м}^2$

Глубина бассейна, $h = 2,0 \, \text{м}$

Бассейн заполнен наполовину.

Плотность воды, $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$A_{min}$ — минимальную работу.

Решение:

Минимальная работа, необходимая для выкачивания воды, равна изменению ее потенциальной энергии. Работа совершается против силы тяжести, поэтому $A = \Delta E_p$.

Поскольку бассейн глубиной $h=2,0 \, \text{м}$ заполнен наполовину, высота столба воды в нем составляет $h_в = h / 2$.

$h_в = 2,0 \, \text{м} / 2 = 1,0 \, \text{м}$.

Объем воды в бассейне:

$V = S \cdot h_в = S \cdot \frac{h}{2} = 10 \, \text{м}^2 \cdot 1,0 \, \text{м} = 10 \, \text{м}^3$.

Масса воды в бассейне:

$m = \rho \cdot V = 1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 10 \, \text{м}^3 = 10000 \, \text{кг}$.

Для расчета работы по подъему распределенного тела (воды) можно использовать метод, основанный на подъеме его центра масс. Работа будет равна произведению силы тяжести, действующей на всю массу воды, на высоту, на которую поднялся ее центр масс.

Изначально центр масс столба воды высотой $h_в$ находится на половине этой высоты, то есть на высоте $h_{ц.м. \, нач}$ от дна бассейна.

$h_{ц.м. \, нач} = \frac{h_в}{2} = \frac{h/2}{2} = \frac{h}{4}$.

$h_{ц.м. \, нач} = \frac{2,0 \, \text{м}}{4} = 0,5 \, \text{м}$.

Воду необходимо выкачать, то есть поднять до верхнего края бассейна, который находится на высоте $h$ от дна. Следовательно, средняя высота, на которую нужно поднять всю массу воды, равна разности между конечной высотой ($h$) и начальной высотой центра масс ($h_{ц.м. \, нач}$):

$\Delta h_{ц.м.} = h - h_{ц.м. \, нач} = h - \frac{h}{4} = \frac{3h}{4}$.

$\Delta h_{ц.м.} = \frac{3 \cdot 2,0 \, \text{м}}{4} = 1,5 \, \text{м}$.

Теперь вычислим минимальную работу:

$A_{min} = m \cdot g \cdot \Delta h_{ц.м.}$.

Подставим числовые значения:

$A_{min} = 10000 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,5 \, \text{м} = 150000 \, \text{Дж}$.

Работу можно выразить в килоджоулях: $150000 \, \text{Дж} = 150 \, \text{кДж}$.

Ответ: $150 \, \text{кДж}$.