Номер 611, страница 123 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$\alpha = 60^\circ$

$m_1 = 1,0 \text{ кг}$

$m_2 = 2,0 \text{ кг}$

$\mu_1 = 0,25$

$\mu_2 = 0,10$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Примем ускорение свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$F$ — модуль силы взаимодействия между брусками.

Решение:

Чтобы определить, будут ли бруски двигаться вместе или раздельно, сначала найдем ускорения, с которыми они бы двигались по отдельности. Второй закон Ньютона для бруска на наклонной плоскости в проекции на ось, направленную вдоль плоскости вниз, имеет вид:

$ma_{своб} = mg \sin\alpha - F_{тр}$, где сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Тогда ускорение свободного скольжения бруска:

$a_{своб} = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Вычислим эти ускорения для каждого бруска:

Для первого (нижнего) бруска:

$a_1 = g(\sin\alpha - \mu_1 \cos\alpha) = 9,8 \cdot (\sin 60^\circ - 0,25 \cdot \cos 60^\circ) = 9,8 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0,25 \cdot 0,5) \approx 9,8 \cdot (0,866 - 0,125) = 7,26 \text{ м/с}^2$.

Для второго (верхнего) бруска:

$a_2 = g(\sin\alpha - \mu_2 \cos\alpha) = 9,8 \cdot (\sin 60^\circ - 0,10 \cdot \cos 60^\circ) = 9,8 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0,10 \cdot 0,5) \approx 9,8 \cdot (0,866 - 0,05) = 8,00 \text{ м/с}^2$.

Поскольку $a_2 > a_1$, верхний брусок стремится скользить быстрее нижнего. Это означает, что он будет давить на нижний брусок, и они будут двигаться вместе как единое целое с одинаковым ускорением $a$. Между ними возникнет сила взаимодействия $F$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого бруска, направив ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз. На первый брусок действует сила взаимодействия $F$ со стороны второго бруска, направленная вдоль оси $Ox$. На второй брусок действует сила взаимодействия $F$ со стороны первого, направленная против оси $Ox$.

Для первого бруска:

$m_1 a = m_1 g \sin\alpha - \mu_1 m_1 g \cos\alpha + F$ (1)

Для второго бруска:

$m_2 a = m_2 g \sin\alpha - \mu_2 m_2 g \cos\alpha - F$ (2)

Мы можем решить эту систему двух уравнений. Для этого сначала найдем общее ускорение $a$, сложив уравнения (1) и (2):

$(m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g \sin\alpha - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)g \cos\alpha$

$a = g\left(\sin\alpha - \frac{\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2}{m_1 + m_2} \cos\alpha\right)$

Теперь выразим силу $F$ из уравнения (2):

$F = m_2 g (\sin\alpha - \mu_2 \cos\alpha) - m_2 a$

Подставим выражение для $a$:

$F = m_2 g (\sin\alpha - \mu_2 \cos\alpha) - m_2 g\left(\sin\alpha - \frac{\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2}{m_1 + m_2} \cos\alpha\right)$

$F = m_2 g \cos\alpha \left(\frac{\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2}{m_1 + m_2} - \mu_2\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$F = m_2 g \cos\alpha \left(\frac{\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2 - \mu_2 (m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}\right)$

$F = m_2 g \cos\alpha \left(\frac{\mu_1 m_1 - \mu_2 m_1}{m_1 + m_2}\right)$

Окончательная формула для силы взаимодействия:

$F = \frac{m_1 m_2 g (\mu_1 - \mu_2) \cos\alpha}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{1,0 \cdot 2,0 \cdot 9,8 \cdot (0,25 - 0,10) \cdot \cos 60^\circ}{1,0 + 2,0} = \frac{2,0 \cdot 9,8 \cdot 0,15 \cdot 0,5}{3,0} = \frac{1,47}{3,0} = 0,49 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы взаимодействия между брусками равен $0,49 \text{ Н}$.