Номер 610, страница 123 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса бруска: $m_1$

Масса груза: $m_2$

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Силу натяжения нити: $T$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый из объектов, и запишем второй закон Ньютона. Поскольку нить невесома и нерастяжима, а блок идеален, оба тела движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$, и сила натяжения нити $T$ одинакова по всей длине.

По условию задачи, груз $m_2$ опускается, следовательно, брусок $m_1$ движется вверх по наклонной плоскости. Ускорение системы направлено так, что $m_2$ движется вниз, а $m_1$ — вверх по наклонной плоскости.

1. Для груза $m_2$, движущегося вертикально вниз:

На него действуют две силы: сила тяжести $m_2g$ (вниз) и сила натяжения нити $T$ (вверх). Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, имеет вид:

$m_2g - T = m_2a$ (1)

2. Для бруска $m_1$, движущегося вверх по наклонной плоскости:

Введем систему координат: ось $Ox$ направим вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. На брусок действуют следующие силы:

• Сила тяжести $m_1g$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно плоскости (вдоль оси $Oy$).
• Сила натяжения нити $T$, направленная вверх вдоль плоскости (вдоль оси $Ox$).
• Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения, то есть вниз вдоль плоскости (против оси $Ox$).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Oy$:

$N - m_1g\cos\alpha = 0$

Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = m_1g\cos\alpha$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции соотношением:

$F_{тр} = \mu N = \mu m_1g\cos\alpha$

Проекция на ось $Ox$:

$T - m_1g\sin\alpha - F_{тр} = m_1a$

Подставим выражение для силы трения:

$T - m_1g\sin\alpha - \mu m_1g\cos\alpha = m_1a$

$T - m_1g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = m_1a$ (2)

3. Решение системы уравнений:

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $T$ и $a$:

$\begin{cases} m_2g - T = m_2a \\ T - m_1g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = m_1a \end{cases}$

Чтобы найти силу натяжения $T$, решим эту систему. Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить $T$ и найти ускорение $a$:

$(m_2g - T) + (T - m_1g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)) = m_2a + m_1a$

$m_2g - m_1g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = (m_1 + m_2)a$

Отсюда выражаем ускорение:

$a = \frac{g(m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha))}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим найденное выражение для ускорения $a$ в уравнение (1), чтобы найти $T$. Из уравнения (1) выразим $T$:

$T = m_2g - m_2a = m_2(g - a)$

$T = m_2 \left( g - \frac{g(m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha))}{m_1 + m_2} \right)$

Вынесем $g$ за скобки:

$T = m_2g \left( 1 - \frac{m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{m_1 + m_2} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$T = m_2g \left( \frac{(m_1 + m_2) - (m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha))}{m_1 + m_2} \right)$

Раскроем скобки в числителе:

$T = m_2g \left( \frac{m_1 + m_2 - m_2 + m_1\sin\alpha + \mu m_1\cos\alpha}{m_1 + m_2} \right)$

Упростим числитель:

$T = m_2g \left( \frac{m_1 + m_1\sin\alpha + \mu m_1\cos\alpha}{m_1 + m_2} \right)$

Вынесем $m_1$ в числителе за скобки:

$T = \frac{m_1m_2g(1 + \sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{m_1 + m_2}$

Ответ: $T = \frac{m_1m_2g(1 + \sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{m_1 + m_2}$