Номер 565, страница 115 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угловая скорость вращения, $\omega = 1.0 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Ускорение свободного падения (константа), $g \approx 9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Радиус вращения, $R$ — ?

Решение:

Состояние невесомости — это состояние, при котором вес тела равен нулю. Вес тела — это сила, с которой оно действует на опору. Согласно третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю силе реакции опоры $N$. Таким образом, условие невесомости означает, что сила реакции опоры равна нулю ($N=0$).

В верхней точке траектории на человека, находящегося в кабине, действует сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, к центру вращения. Также на него может действовать сила реакции опоры $\vec{N}$ (со стороны пола или потолка кабины). Равнодействующая этих сил сообщает человеку центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, которое в верхней точке также направлено вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона для человека в проекции на вертикальную ось, направленную вниз. В общем случае уравнение выглядит так: $mg \pm N = ma_c$, где знак перед $N$ зависит от того, какая поверхность кабины является опорой (пол или потолок). Однако в состоянии невесомости $N=0$, и уравнение упрощается.

При $N=0$ единственной силой, действующей на человека, остается сила тяжести. Именно она и сообщает телу центростремительное ускорение:

$mg = ma_c$

Центростремительное ускорение $a_c$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $R$ соотношением:

$a_c = \omega^2 R$

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$mg = m\omega^2 R$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения, так как она не равна нулю:

$g = \omega^2 R$

Из этого соотношения выразим искомый радиус вращения $R$:

$R = \frac{g}{\omega^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$R = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{(1.0 \, \text{рад/с})^2} = \frac{9.8}{1.0} \, \text{м} = 9.8 \, \text{м}$

Ответ: радиус вращения кабины должен быть равен $9.8 \, \text{м}$.