Номер 543, страница 112 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина нити: $l$
Угол отклонения от вертикали: $\alpha$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Период обращения шарика: $T$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на шарик. Это сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{F}_T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Шарик совершает равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости. Его ускорение — это центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, направленное горизонтально к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона для шарика в векторной форме: $m\vec{a}_c = \vec{F}_T + m\vec{g}$.

Введем систему координат. Ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Спроецируем силы и ускорение на эти оси.

Проекция на ось $OY$: так как шарик движется в горизонтальной плоскости, его ускорение в вертикальном направлении равно нулю ($a_y = 0$). Условие равновесия сил в проекции на эту ось:
$F_{Ty} - mg = 0$
Проекция силы натяжения на ось $OY$ равна $F_T \cos\alpha$.
$F_T \cos\alpha = mg$ (1)

Проекция на ось $OX$: на эту ось проецируется только горизонтальная составляющая силы натяжения $F_{Tx}$. Эта составляющая и создает центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $v$ — скорость шарика, а $r$ — радиус окружности.
$F_{Tx} = m a_c$
Проекция силы натяжения на ось $OX$ равна $F_T \sin\alpha$.
$F_T \sin\alpha = m \frac{v^2}{r}$ (2)

Радиус окружности $r$ можно выразить через длину нити $l$ и угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника, образованного нитью, вертикалью и радиусом:
$r = l \sin\alpha$ (3)

Чтобы найти период, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{F_T \sin\alpha}{F_T \cos\alpha} = \frac{m v^2 / r}{mg}$
После сокращения $F_T$ и $m$ получаем:
$\tan\alpha = \frac{v^2}{rg}$

Период обращения $T$ связан с линейной скоростью $v$ и радиусом $r$ соотношением $v = \frac{2\pi r}{T}$. Отсюда $v^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}$.

Подставим это выражение для $v^2$ в полученное ранее уравнение:
$\tan\alpha = \frac{1}{rg} \cdot \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{4\pi^2 r}{gT^2}$

Выразим из этого уравнения квадрат периода $T^2$:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r}{g \tan\alpha}$

Теперь заменим радиус $r$ выражением (3), а тангенс — отношением синуса к косинусу:
$T^2 = \frac{4\pi^2 (l \sin\alpha)}{g (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})} = \frac{4\pi^2 l \sin\alpha \cos\alpha}{g \sin\alpha}$

Сократив $\sin\alpha$, получаем:
$T^2 = \frac{4\pi^2 l \cos\alpha}{g}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим искомую формулу для периода обращения:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\alpha}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\alpha}{g}}$