Номер 549, страница 113 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Диаметр дна сосуда: $d$

Угол наклона стенок к горизонту: $\alpha$

Найти:

Минимальная частота вращения: $n_{min}$

Решение:

Маленький шарик, лежащий на дне вращающегося сосуда, начнет подниматься вверх по наклонной стенке в тот момент, когда сила реакции дна станет равной нулю. Это произойдет, когда шарик, двигаясь по дну, достигнет его края, то есть будет находиться на расстоянии $r = d/2$ от вертикальной оси вращения. В этот пороговый момент на шарик будут действовать только две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции стенки $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности стенки.

Рассмотрим движение шарика в инерциальной системе отсчета. Шарик совершает равномерное движение по окружности радиусом $r = d/2$ в горизонтальной плоскости. Следовательно, его ускорение является центростремительным ($a_c$), направлено горизонтально к оси вращения и по модулю равно $a_c = \omega^2 r$, где $\omega$ — угловая скорость вращения.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось Y (направленную вверх) и горизонтальную ось X (направленную к центру вращения). Угол наклона стенки к горизонту равен $\alpha$. Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна стенке, поэтому угол между вектором $\vec{N}$ и вертикалью также равен $\alpha$.

Проекции силы $\vec{N}$ на оси координат:

На вертикальную ось Y: $N_y = N \cos(\alpha)$

На горизонтальную ось X: $N_x = N \sin(\alpha)$

Составим уравнения движения:

По оси Y, так как вертикального ускорения нет, сумма сил равна нулю:

$N_y - mg = 0 \implies N \cos(\alpha) = mg$ (1)

По оси X, равнодействующая сил сообщает шарику центростремительное ускорение:

$N_x = m a_c \implies N \sin(\alpha) = m \omega^2 r$ (2)

Подставим в уравнение (2) радиус вращения $r = d/2$:

$N \sin(\alpha) = m \omega^2 \frac{d}{2}$ (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3) для нахождения $\omega$. Из уравнения (1) выразим силу нормальной реакции $N$:

$N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Подставим это выражение в уравнение (3):

$\left(\frac{mg}{\cos(\alpha)}\right) \sin(\alpha) = m \omega^2 \frac{d}{2}$

Упростим левую часть, используя тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:

$mg \tan(\alpha) = m \omega^2 \frac{d}{2}$

Масса шарика $m$ сокращается с обеих сторон уравнения:

$g \tan(\alpha) = \omega^2 \frac{d}{2}$

Отсюда выражаем квадрат минимальной угловой скорости $\omega_{min}^2$:

$\omega_{min}^2 = \frac{2g \tan(\alpha)}{d}$

Тогда минимальная угловая скорость равна:

$\omega_{min} = \sqrt{\frac{2g \tan(\alpha)}{d}}$

Задача спрашивает о минимальной частоте вращения $n$ (в оборотах в секунду, или герцах). Связь между частотой $n$ и угловой скоростью $\omega$ (в радианах в секунду) дается формулой $\omega = 2\pi n$.

Следовательно, минимальная частота вращения $n_{min}$ равна:

$n_{min} = \frac{\omega_{min}}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2g \tan(\alpha)}{d}}$

Ответ: $n_{min} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2g \tan(\alpha)}{d}}$