Номер 528, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Угол броска первого тела: $\alpha_1 = \alpha$
Начальная скорость первого тела: $v_{01}$
Угол броска второго тела: $\alpha_2 = 2\alpha$
Начальная скорость второго тела: $v_{02}$
Условие по углу: $2\alpha < 90^\circ$
Условие по дальности: $L_1 = L_2$

Найти:
Отношение модулей начальных скоростей: $\frac{v_{01}}{v_{02}}$

Решение:
Дальность полета тела, брошенного под углом $\theta$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, определяется по формуле (при отсутствии сопротивления воздуха):
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$
где $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулы дальности полета для двух тел.
Для первого тела, брошенного под углом $\alpha_1 = \alpha$ со скоростью $v_{01}$:
$L_1 = \frac{v_{01}^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Для второго тела, брошенного под углом $\alpha_2 = 2\alpha$ со скоростью $v_{02}$:
$L_2 = \frac{v_{02}^2 \sin(2 \cdot 2\alpha)}{g} = \frac{v_{02}^2 \sin(4\alpha)}{g}$

По условию задачи дальности полета тел одинаковы, следовательно, $L_1 = L_2$:
$\frac{v_{01}^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{v_{02}^2 \sin(4\alpha)}{g}$

Умножим обе части уравнения на $g$:
$v_{01}^2 \sin(2\alpha) = v_{02}^2 \sin(4\alpha)$

Для преобразования правой части уравнения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Применительно к нашему случаю, где $x = 2\alpha$:
$\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Подставим это выражение в уравнение:
$v_{01}^2 \sin(2\alpha) = v_{02}^2 \cdot 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Поскольку по условию $0 < 2\alpha < 90^\circ$, то $\sin(2\alpha) \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(2\alpha)$:
$v_{01}^2 = 2v_{02}^2 \cos(2\alpha)$

Теперь найдем искомое отношение скоростей. Для этого выразим отношение их квадратов:
$\frac{v_{01}^2}{v_{02}^2} = 2\cos(2\alpha)$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем отношение модулей начальных скоростей:
$\frac{v_{01}}{v_{02}} = \sqrt{2\cos(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{v_{01}}{v_{02}} = \sqrt{2\cos(2\alpha)}$