Номер 524, страница 109 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Соотношение между дальностью полета $L$ и максимальной высотой подъема $H$: $L = k \cdot H$

Коэффициент $k = 4$

Найти:

Угол броска $\alpha$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается следующими формулами для дальности полета $L$ и максимальной высоты подъема $H$ (при условии отсутствия сопротивления воздуха):

Дальность полета: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Здесь $v_0$ — начальная скорость мяча, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию задачи, дальность полета в $k=4$ раза больше максимальной высоты подъема:

$L = k \cdot H$

Подставим формулы для $L$ и $H$ в это соотношение:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = k \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим одинаковые множители $\frac{v_0^2}{g}$ в обеих частях уравнения (поскольку $v_0 \neq 0$ и $g \neq 0$):

$\sin(2\alpha) = \frac{k \cdot \sin^2(\alpha)}{2}$

Используем тригонометрическую формулу для синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{k \cdot \sin^2(\alpha)}{2}$

Поскольку мяч брошен под углом к горизонту, то $\alpha \neq 0$, а значит $\sin(\alpha) \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $\sin(\alpha)$:

$2\cos(\alpha) = \frac{k \cdot \sin(\alpha)}{2}$

Выразим из этого уравнения тангенс угла $\alpha$ ($\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$):

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{2 \cdot 2}{k}$

$\tan(\alpha) = \frac{4}{k}$

Подставим заданное значение $k=4$:

$\tan(\alpha) = \frac{4}{4} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: мяч был брошен под углом $45^\circ$ к горизонту.