Номер 519, страница 108 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

угол броска $\alpha = 30°$

начальная скорость $v_0 = 20 \, \frac{м}{с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \frac{м}{с^2}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) время полета $t_{пол}$ - ?

б) максимальную высоту подъема $h_{max}$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтальной оси Ox и равноускоренного по вертикальной оси Oy. Начальная скорость $v_0$ раскладывается на две составляющие:

Проекция на ось Ox: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Проекция на ось Oy: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнение координаты по оси Oy, направленной вертикально вверх, имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}$

Так как мяч брошен с поверхности земли, начальная высота $y_0 = 0$.

$y(t) = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g t^2}{2}$

Уравнение проекции скорости на ось Oy:

$v_y(t) = v_{0y} - g t = v_0 \sin(\alpha) - g t$

а) сколько времени длился полет мяча

Полное время полета $t_{пол}$ — это время, через которое мяч вернется на землю, то есть его координата $y$ снова станет равной нулю. Приравняем уравнение координаты $y(t)$ к нулю:

$v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g t^2}{2} = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $t = 0$ (момент начала полета) и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{пол}}{2} = 0$. Второй корень соответствует моменту приземления.

$t_{пол} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$t_{пол} = \frac{2 \cdot 20 \, \frac{м}{с} \cdot \sin(30°)}{10 \, \frac{м}{с^2}} = \frac{40 \cdot 0.5}{10} \, с = \frac{20}{10} \, с = 2 \, с$

Ответ: время полета мяча длился 2 с.

б) максимальную высоту подъема мяча

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости мяча $v_y$ обращается в ноль. Найдем время подъема на максимальную высоту $t_{под}$ из уравнения для скорости:

$v_y(t_{под}) = v_0 \sin(\alpha) - g t_{под} = 0$

$t_{под} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь подставим это время в уравнение для координаты $y(t)$, чтобы найти максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = y(t_{под}) = v_0 \sin(\alpha) t_{под} - \frac{g t_{под}^2}{2}$

$h_{max} = v_0 \sin(\alpha) \left( \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} \right)^2 = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{g} - \frac{g (v_0 \sin(\alpha))^2}{2g^2} = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{g} - \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g} = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$h_{max} = \frac{(20 \, \frac{м}{с} \cdot \sin(30°))^2}{2 \cdot 10 \, \frac{м}{с^2}} = \frac{(20 \cdot 0.5)^2}{20} \, м = \frac{10^2}{20} \, м = \frac{100}{20} \, м = 5 \, м$

Ответ: максимальная высота подъема мяча равна 5 м.