Номер 461, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Отношение радиусов орбит двух планет: $ \frac{R_1}{R_2} = 4 $.

Найти:

а) отношение модулей линейных скоростей $ \frac{v_1}{v_2} $;

б) отношение периодов обращения $ \frac{T_1}{T_2} $.

Решение:

Движение планет по круговым орбитам вокруг звезды происходит под действием гравитационной силы, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу всемирного тяготения и центростремительную силу:

$ F_g = F_c $

$ G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} $

где $ G $ — гравитационная постоянная, $ M $ — масса звезды, $ m $ — масса планеты, $ v $ — линейная скорость планеты, $ R $ — радиус её орбиты.

Из этого равенства можно выразить квадрат линейной скорости:

$ v^2 = G \frac{M}{R} $

Отсюда линейная скорость равна:

$ v = \sqrt{\frac{G M}{R}} $

Так как обе планеты вращаются вокруг одной и той же звезды, масса звезды $ M $ для них одинакова.

а) модулей линейных скоростей движения планет;

Запишем выражения для скоростей первой и второй планет:

$ v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R_1}} $

$ v_2 = \sqrt{\frac{G M}{R_2}} $

Теперь найдем отношение их скоростей, разделив одно выражение на другое:

$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{R_1}}}{\sqrt{\frac{G M}{R_2}}} = \sqrt{\frac{G M}{R_1} \cdot \frac{R_2}{G M}} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} $

По условию задачи $ \frac{R_1}{R_2} = 4 $, следовательно, обратное отношение $ \frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4} $.

Подставим это значение в полученную формулу:

$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: Отношение модулей линейных скоростей планет $ \frac{v_1}{v_2} $ равно 0,5.

б) периодов обращения планет.

Для нахождения отношения периодов можно воспользоваться третьим законом Кеплера, который для круговых орбит вокруг одного центрального тела записывается как:

$ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 $

Чтобы найти отношение периодов $ \frac{T_1}{T_2} $, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{3/2} $

Подставим известное из условия отношение радиусов $ \frac{R_1}{R_2} = 4 $:

$ \frac{T_1}{T_2} = 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 $

Также можно прийти к этому ответу, используя связь периода, радиуса и скорости ($ T = \frac{2 \pi R}{v} $):

$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi R_1 / v_1}{2 \pi R_2 / v_2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{v_2}{v_1} $

Из пункта а) мы знаем, что $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2} $, значит $ \frac{v_2}{v_1} = 2 $. Подставляем известные значения:

$ \frac{T_1}{T_2} = 4 \cdot 2 = 8 $

Ответ: Отношение периодов обращения планет $ \frac{T_1}{T_2} $ равно 8.