Номер 467, страница 100 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус орбиты спутника: $R = 1,1 \cdot 10^6 \text{ км}$

Период обращения спутника: $T = 200 \text{ ч}$

Радиус Юпитера: $R_{Ю} = 7,0 \cdot 10^4 \text{ км}$

Переведем все величины в Международную систему единиц (СИ):

$R = 1,1 \cdot 10^6 \text{ км} = 1,1 \cdot 10^6 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,1 \cdot 10^9 \text{ м}$

$T = 200 \text{ ч} = 200 \cdot 3600 \text{ с} = 720000 \text{ с} = 7,2 \cdot 10^5 \text{ с}$

$R_{Ю} = 7,0 \cdot 10^4 \text{ км} = 7,0 \cdot 10^4 \cdot 10^3 \text{ м} = 7,0 \cdot 10^7 \text{ м}$

Найти:

Модуль первой космической скорости для Юпитера $v_1$.

Решение:

Первая космическая скорость для небесного тела — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить объекту, чтобы он стал его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите вблизи поверхности. Формула для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_{Ю}}{R_{Ю}}}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M_{Ю}$ — масса Юпитера, $R_{Ю}$ — радиус Юпитера. Масса Юпитера в условии не дана, но ее можно определить из параметров движения спутника.

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_г = F_{цс}$

$\frac{GM_{Ю}m}{R^2} = \frac{mv_s^2}{R}$

где $m$ — масса спутника, $v_s$ — его орбитальная скорость, $R$ — радиус орбиты спутника.

Из этого соотношения выразим произведение $GM_{Ю}$:

$GM_{Ю} = v_s^2 R$

Скорость движения спутника по круговой орбите можно найти через период обращения $T$ и радиус орбиты $R$:

$v_s = \frac{2\pi R}{T}$

Подставим выражение для скорости в формулу для $GM_{Ю}$:

$GM_{Ю} = \left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{1}{R_{Ю}} \cdot \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}} = \frac{2\pi}{T}\sqrt{\frac{R^3}{R_{Ю}}}$

Подставим числовые значения в СИ и произведем вычисления:

$v_1 = \frac{2\pi}{7,2 \cdot 10^5 \text{ с}} \sqrt{\frac{(1,1 \cdot 10^9 \text{ м})^3}{7,0 \cdot 10^7 \text{ м}}} = \frac{2\pi}{7,2 \cdot 10^5} \sqrt{\frac{1,331 \cdot 10^{27}}{7,0 \cdot 10^7}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 \approx \frac{6,283}{7,2 \cdot 10^5} \sqrt{0,19014 \cdot 10^{20}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 8,727 \cdot 10^{-6} \cdot 4,361 \cdot 10^9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 \approx 38058 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 38,1 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных ($1,1$ и $7,0$).

$v_1 \approx 38 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: $v_1 \approx 38 \text{ км/с}$.