Номер 304, страница 72 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v = 4,0 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$R_1 = 40 \, \text{м}$
$R_2 = 80 \, \text{м}$
$t = 31,4 \, \text{с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\alpha$

Решение:

Так как спортсмены движутся с постоянными по модулю скоростями по окружностям, их ускорение является центростремительным. Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}$ всегда направлен к центру окружности. Это означает, что для каждого спортсмена вектор ускорения в любой момент времени лежит на радиусе, соединяющем спортсмена с центром, и направлен к центру.

Угол между векторами ускорений двух спортсменов будет равен углу между радиус-векторами, проведенными из центра к каждому спортсмену. Поскольку спортсмены начинают движение одновременно (предположительно из одного и того же углового положения), этот угол будет равен разности углов поворота, которые они совершат за время $t$.

Угол поворота $\phi$ при равномерном движении по окружности определяется по формуле $\phi = \omega t$, где $\omega$ — угловая скорость, а $t$ — время. Угловая скорость связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ соотношением $\omega = \frac{v}{R}$.

Вычислим угловую скорость и угол поворота для первого спортсмена:
$\omega_1 = \frac{v}{R_1} = \frac{4,0 \, \text{м/с}}{40 \, \text{м}} = 0,1 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}}$
$\phi_1 = \omega_1 t = 0,1 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} \times 31,4 \, \text{с} = 3,14 \, \text{рад}$

Вычислим угловую скорость и угол поворота для второго спортсмена:
$\omega_2 = \frac{v}{R_2} = \frac{4,0 \, \text{м/с}}{80 \, \text{м}} = 0,05 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}}$
$\phi_2 = \omega_2 t = 0,05 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} \times 31,4 \, \text{с} = 1,57 \, \text{рад}$

Угол $\alpha$ между направлениями их ускорений равен модулю разности углов поворота:
$\alpha = |\phi_1 - \phi_2| = |3,14 \, \text{рад} - 1,57 \, \text{рад}| = 1,57 \, \text{рад}$

Заметим, что число $\pi \approx 3,14$. Тогда $\phi_1 = 3,14 \, \text{рад} \approx \pi \, \text{рад}$ (что соответствует 180°), а $\phi_2 = 1,57 \, \text{рад} \approx \frac{\pi}{2} \, \text{рад}$ (что соответствует 90°).

Таким образом, угол между ускорениями:
$\alpha = 1,57 \, \text{рад} = \frac{\pi}{2} \, \text{рад} = 90^\circ$

Ответ: Угол между направлениями ускорений равен $90^\circ$.