Номер 265, страница 63 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Начальная координата $x_0 = 0$ м.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальное удаление от начального положения $|x|_{max}$.

Решение:

Удаление от начального положения (перемещение) тела за некоторый промежуток времени численно равно площади фигуры под графиком зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ за этот же промежуток. Площадь фигуры, расположенной над осью времени, соответствует движению в положительном направлении оси $Ox$ и является положительной. Площадь фигуры под осью времени соответствует движению в отрицательном направлении и является отрицательной.

Максимальное удаление от начального положения будет достигаться в моменты времени, когда скорость тела равна нулю, так как в эти моменты тело меняет направление движения. Это точки возможных экстремумов координаты $x(t)$. На графике это моменты времени $t=1$ с, $t=4$ с, $t=10$ с и $t=12$ с. Необходимо вычислить координату тела в эти моменты времени, а также в конце наблюдения ($t=14$ с), и найти максимальное по модулю значение.

1. Интервал от 0 с до 1 с.

Тело движется в положительном направлении. Перемещение равно площади треугольника над осью времени:

$\Delta x_1 = S_1 = \frac{1}{2} \cdot (1 \text{ с}) \cdot (12 \text{ м/с}) = 6 \text{ м}$.

Координата в момент $t=1$ с: $x(1) = x_0 + \Delta x_1 = 0 + 6 = 6 \text{ м}$.

2. Интервал от 1 с до 4 с.

Тело движется в отрицательном направлении. Перемещение равно площади треугольника под осью времени:

$\Delta x_2 = S_2 = \frac{1}{2} \cdot (4 \text{ с} - 1 \text{ с}) \cdot (-4 \text{ м/с}) = -6 \text{ м}$.

Координата в момент $t=4$ с: $x(4) = x(1) + \Delta x_2 = 6 \text{ м} + (-6 \text{ м}) = 0 \text{ м}$.

3. Интервал от 4 с до 10 с.

Тело движется в положительном направлении. Перемещение равно площади треугольника над осью времени:

$\Delta x_3 = S_3 = \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ с} - 4 \text{ с}) \cdot (12 \text{ м/с}) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36 \text{ м}$.

Координата в момент $t=10$ с: $x(10) = x(4) + \Delta x_3 = 0 \text{ м} + 36 \text{ м} = 36 \text{ м}$.

4. Интервал от 10 с до 12 с.

Тело движется в отрицательном направлении. Перемещение равно площади треугольника под осью времени:

$\Delta x_4 = S_4 = \frac{1}{2} \cdot (12 \text{ с} - 10 \text{ с}) \cdot (-12 \text{ м/с}) = -12 \text{ м}$.

Координата в момент $t=12$ с: $x(12) = x(10) + \Delta x_4 = 36 \text{ м} + (-12 \text{ м}) = 24 \text{ м}$.

5. Интервал от 12 с до 14 с.

Тело движется в положительном направлении. Перемещение равно площади треугольника над осью времени:

$\Delta x_5 = S_5 = \frac{1}{2} \cdot (14 \text{ с} - 12 \text{ с}) \cdot (4 \text{ м/с}) = 4 \text{ м}$.

Координата в момент $t=14$ с: $x(14) = x(12) + \Delta x_5 = 24 \text{ м} + 4 \text{ м} = 28 \text{ м}$.

Сравним значения координаты в ключевые моменты времени: $x(1)=6$ м, $x(4)=0$ м, $x(10)=36$ м, $x(12)=24$ м, $x(14)=28$ м. Все значения положительны, поэтому максимальное удаление от начального положения равно максимальному значению координаты.

$|x|_{max} = 36$ м.

Ответ: 36 м.