Номер 268, страница 64 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Постройте график зависимости проекции скорости от времени.

Движение футболиста можно разбить на четыре этапа, на каждом из которых он движется с постоянным ускорением. Скорость при равноускоренном движении находится по формуле $v_x = v_{0x} + a_x \Delta t$, где $v_{0x}$ - начальная скорость на данном интервале, а $\Delta t$ - длительность интервала.

По условию, начальная скорость футболиста в момент времени $t=0$ равна нулю: $v_x(0) = 0$.

1. Интервал времени от 0 до 2,0 с:
Ускорение $a_{x1} = 3,0 \text{ м/с}^2$.
Скорость в конце интервала: $v_x(2,0) = v_x(0) + a_{x1} \cdot (2,0 - 0) = 0 + 3,0 \cdot 2,0 = 6,0 \text{ м/с}$.

2. Интервал времени от 2,0 с до 4,0 с:
Ускорение $a_{x2} = -3,0 \text{ м/с}^2$. Начальная скорость для этого интервала равна конечной скорости предыдущего: $v_x(2,0) = 6,0 \text{ м/с}$.
Скорость в конце интервала: $v_x(4,0) = v_x(2,0) + a_{x2} \cdot (4,0 - 2,0) = 6,0 + (-3,0) \cdot 2,0 = 6,0 - 6,0 = 0 \text{ м/с}$.

3. Интервал времени от 4,0 с до 6,0 с:
Ускорение $a_{x3} = 3,0 \text{ м/с}^2$. Начальная скорость $v_x(4,0) = 0 \text{ м/с}$.
Скорость в конце интервала: $v_x(6,0) = v_x(4,0) + a_{x3} \cdot (6,0 - 4,0) = 0 + 3,0 \cdot 2,0 = 6,0 \text{ м/с}$.

4. Интервал времени от 6,0 с до 8,0 с:
Ускорение $a_{x4} = -3,0 \text{ м/с}^2$. Начальная скорость $v_x(6,0) = 6,0 \text{ м/с}$.
Скорость в конце интервала: $v_x(8,0) = v_x(6,0) + a_{x4} \cdot (8,0 - 6,0) = 6,0 + (-3,0) \cdot 2,0 = 6,0 - 6,0 = 0 \text{ м/с}$.

Таким образом, график зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ представляет собой ломаную линию, построенную по следующим ключевым точкам: (0; 0), (2,0; 6,0), (4,0; 0), (6,0; 6,0), (8,0; 0).

Ответ: График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами (t, с; $v_x$, м/с): (0; 0) → (2,0; 6,0) → (4,0; 0) → (6,0; 6,0) → (8,0; 0).

Чему равен модуль перемещения футболиста за время движения t = 8,0 с?

Дано:

$v_0 = 0 \text{ м/с}$
$t_{общ} = 8,0 \text{ с}$
График зависимости $a_x(t)$ (см. Рис. 67).

Найти:

$|\Delta x|$

Решение:

Модуль перемещения можно найти как площадь фигуры под графиком зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$. Мы уже построили этот график. Он состоит из двух одинаковых треугольников, расположенных над осью времени.

Площадь первого треугольника (на интервале от 0 до 4,0 с):
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 4,0 \text{ с} \cdot 6,0 \text{ м/с} = 12,0 \text{ м}$.

Площадь второго треугольника (на интервале от 4,0 с до 8,0 с):
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot (8,0 - 4,0) \text{ с} \cdot 6,0 \text{ м/с} = \frac{1}{2} \cdot 4,0 \text{ с} \cdot 6,0 \text{ м/с} = 12,0 \text{ м}$.

Общее перемещение равно сумме площадей этих фигур:
$\Delta x = S_1 + S_2 = 12,0 \text{ м} + 12,0 \text{ м} = 24,0 \text{ м}$.

Поскольку проекция скорости всё время была неотрицательной ($v_x \ge 0$), футболист двигался только в положительном направлении оси Ox. Поэтому модуль перемещения равен самому перемещению.

Проверим расчет, используя формулу перемещения для каждого интервала: $\Delta x = v_{0x}\Delta t + \frac{a_x(\Delta t)^2}{2}$.

$\Delta x_1 (0 \to 2,0 \text{с}) = 0 \cdot 2,0 + \frac{3,0 \cdot (2,0)^2}{2} = 6,0 \text{ м}$.
$\Delta x_2 (2,0 \to 4,0 \text{с}) = 6,0 \cdot 2,0 + \frac{-3,0 \cdot (2,0)^2}{2} = 12,0 - 6,0 = 6,0 \text{ м}$.
$\Delta x_3 (4,0 \to 6,0 \text{с}) = 0 \cdot 2,0 + \frac{3,0 \cdot (2,0)^2}{2} = 6,0 \text{ м}$.
$\Delta x_4 (6,0 \to 8,0 \text{с}) = 6,0 \cdot 2,0 + \frac{-3,0 \cdot (2,0)^2}{2} = 12,0 - 6,0 = 6,0 \text{ м}$.

Суммарное перемещение: $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 = 6,0 + 6,0 + 6,0 + 6,0 = 24,0 \text{ м}$.

Модуль перемещения $|\Delta x| = 24,0 \text{ м}$.

Ответ: 24,0 м.