Номер 259, страница 60 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

а) Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ (рис. 58, а).

Начальная координата $x_0 = x(0) = 0$ м.

Из графика $v_x(t)$ для случая а:
Участок 1: $t \in [0; 4]$ c, $v_x$ линейно возрастает от $0$ до $4$ м/с.
Участок 2: $t \in (4; 10]$ c, $v_x$ постоянна и равна $4$ м/с.
Участок 3: $t \in (10; 18]$ c, $v_x$ линейно убывает от $4$ до $0$ м/с.

Найти:

Построить графики:

1. Проекции ускорения от времени $a_x(t)$.

2. Координаты от времени $x(t)$.

3. Пройденного пути от времени $s(t)$.

Решение:

Проекция ускорения $a_x$ определяется как тангенс угла наклона графика $v_x(t)$, то есть $a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$. Координата $x(t)$ и пройденный путь $s(t)$ находятся как площадь под графиком $v_x(t)$ и $|v_x(t)|$ соответственно.

1. График $a_x(t)$:

На участке $t \in [0; 4]$ с:
$a_x = \frac{4 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (4; 10]$ с:
$a_x = \frac{4 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{10 \text{ с} - 4 \text{ с}} = 0 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (10; 18]$ с:
$a_x = \frac{0 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{18 \text{ с} - 10 \text{ с}} = \frac{-4}{8} = -0.5 \text{ м/с}^2$.

2. График $x(t)$:

Координата $x(t)$ равна площади под графиком $v_x(t)$ от $0$ до $t$, так как $x(0)=0$.

На участке $t \in [0; 4]$ с (равноускоренное движение):
$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2} = 0 + 0 \cdot t + \frac{1 \cdot t^2}{2} = 0.5t^2$.
В конце участка: $x(4) = 0.5 \cdot 4^2 = 8$ м.

На участке $t \in (4; 10]$ с (равномерное движение):
$x(t) = x(4) + v_x (t-4) = 8 + 4(t-4)$.
В конце участка: $x(10) = 8 + 4(10-4) = 8 + 24 = 32$ м.

На участке $t \in (10; 18]$ с (равнозамедленное движение):
$x(t) = x(10) + v_x(10)(t-10) + \frac{a_x (t-10)^2}{2} = 32 + 4(t-10) - \frac{0.5(t-10)^2}{2} = 32 + 4(t-10) - 0.25(t-10)^2$.
В конце участка: $x(18) = 32 + 4(8) - 0.25(8^2) = 32 + 32 - 16 = 48$ м.

3. График $s(t)$:

Поскольку на всем интервале времени $t \in [0; 18]$ с проекция скорости $v_x(t) \ge 0$, баскетболист движется только в одном направлении (вдоль оси Ox). Следовательно, пройденный путь $s(t)$ равен модулю перемещения, то есть координате $x(t)$.
$s(t) = x(t)$.

Ответ:

Для случая а:
График $a_x(t)$ - ступенчатая функция: от 0 до 4 с $a_x = 1$ м/с$^2$; от 4 до 10 с $a_x = 0$ м/с$^2$; от 10 до 18 с $a_x = -0.5$ м/с$^2$.
График $x(t)$: кривая, состоящая из трех частей. 1) от 0 до 4 с - ветвь параболы $x(t)=0.5t^2$ (точки (0,0) и (4,8)); 2) от 4 до 10 с - отрезок прямой (точки (4,8) и (10,32)); 3) от 10 до 18 с - ветвь параболы (точки (10,32) и (18,48)).
График $s(t)$: полностью совпадает с графиком $x(t)$.

б) Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ (рис. 58, б). Примем, что одна клетка по оси времени соответствует 1 с, а по оси скорости — 1 м/с. Тогда $v=2$ м/с, $t_1=2$ с, $t_2=4$ с, $t_3=5$ с.

Начальная координата $x_0 = x(0) = 0$ м.

Найти:

Построить графики $a_x(t)$, $x(t)$, $s(t)$.

Решение:

1. График $a_x(t)$:

На участке $t \in [0; 2]$ с: $a_x = \frac{2-0}{2-0} = 1 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (2; 4]$ с: $a_x = \frac{2-2}{4-2} = 0 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (4; 5]$ с: $a_x = \frac{-2-2}{5-4} = -4 \text{ м/с}^2$.

2. График $x(t)$:

На участке $t \in [0; 2]$ с: $x(t) = 0.5t^2$. $x(2)=2$ м.
На участке $t \in (2; 4]$ с: $x(t) = x(2) + 2(t-2) = 2+2(t-2)$. $x(4)=6$ м.
На участке $t \in (4; 5]$ с: движение равноускоренное с $a_x=-4$ м/с$^2$. Скорость обращается в ноль при $t=4.5$ с.
$x(t) = x(4) + v_x(4)(t-4) + \frac{a_x(t-4)^2}{2} = 6 + 2(t-4) - 2(t-4)^2$.
Максимальная координата в $t=4.5$ с: $x(4.5) = 6+2(0.5)-2(0.5)^2 = 6.5$ м.
В конце участка: $x(5) = 6+2(1)-2(1)^2=6$ м.

3. График $s(t)$:

На участках, где $v_x \ge 0$ (до $t=4.5$ с), путь совпадает с координатой: $s(t) = x(t)$.
$s(4.5) = x(4.5) = 6.5$ м.
На участке $t \in (4.5; 5]$ с, $v_x < 0$, тело движется в обратном направлении.
$s(t) = s(4.5) + |x(t) - x(4.5)| = 6.5 + |(6+2(t-4)-2(t-4)^2) - 6.5| = 6.5 + 2(t-4.5)^2$.
В конце пути: $s(5) = 6.5 + 2(5-4.5)^2 = 7$ м.

Ответ:

Для случая б:
График $a_x(t)$: от 0 до 2 с $a_x=1$ м/с$^2$; от 2 до 4 с $a_x=0$ м/с$^2$; от 4 до 5 с $a_x=-4$ м/с$^2$.
График $x(t)$: 1) $t \in [0,2]$ - парабола $x=0.5t^2$ (точки (0,0) и (2,2)); 2) $t \in [2,4]$ - прямая (точки (2,2) и (4,6)); 3) $t \in [4,5]$ - парабола с вершиной в (4.5, 6.5), концы в (4,6) и (5,6).
График $s(t)$: 1) до $t=4.5$ с совпадает с $x(t)$; 2) $t \in [4.5, 5]$ - ветвь параболы $s(t)=6.5+2(t-4.5)^2$ (точки (4.5, 6.5) и (5,7)).

в) Дано:

График $v_x(t)$ (рис. 58, в). Примем, что одна клетка по оси времени — 1 с, по оси скорости — 1 м/с. $x_0 = 0$ м.

Найти:

Построить графики $a_x(t)$, $x(t)$, $s(t)$.

Решение:

1. График $a_x(t)$:

На участке $t \in [0; 2]$ с: $a_x = \frac{2-0}{2-0} = 1 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (2; 4]$ с: $a_x = 0 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (4; 6]$ с: $a_x = \frac{-2-2}{6-4} = -2 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (6; 8]$ с: $a_x = \frac{0-(-2)}{8-6} = 1 \text{ м/с}^2$.

2. График $x(t)$:

На участке $t \in [0; 2]$ с: $x(t) = 0.5t^2$. $x(2)=2$ м.
На участке $t \in (2; 4]$ с: $x(t) = 2+2(t-2)$. $x(4)=6$ м.
На участке $t \in (4; 6]$ с: $v_x=0$ при $t=5$ с. $x(t) = 6+2(t-4)-(t-4)^2$. Максимум в $t=5$ с: $x(5)=7$ м. $x(6)=6$ м.
На участке $t \in (6; 8]$ с: $x(t) = 6-2(t-6)+0.5(t-6)^2$. $x(8)=4$ м.

3. График $s(t)$:

До $t=5$ с $v_x \ge 0$, поэтому $s(t) = x(t)$. $s(5)=7$ м.
На участке $t \in (5; 6]$ с: $s(t) = s(5)+|x(t)-x(5)|=7+(t-5)^2$. $s(6)=8$ м.
На участке $t \in (6; 8]$ с: $s(t) = s(6)+|x(t)-x(6)|=8+|-2(t-6)+0.5(t-6)^2|=8+2(t-6)-0.5(t-6)^2$. $s(8)=10$ м.

Ответ:

Для случая в:
График $a_x(t)$: от 0 до 2 с $a_x=1$; от 2 до 4 с $a_x=0$; от 4 до 6 с $a_x=-2$; от 6 до 8 с $a_x=1$.
График $x(t)$: 1) $t \in [0,2]$ - парабола (0,0) -> (2,2); 2) $t \in [2,4]$ - прямая (2,2) -> (4,6); 3) $t \in [4,6]$ - парабола с вершиной (5,7), концы (4,6) и (6,6); 4) $t \in [6,8]$ - парабола (6,6) -> (8,4).
График $s(t)$: 1) до $t=5$ с совпадает с $x(t)$; 2) $t \in [5,6]$ - парабола (5,7) -> (6,8); 3) $t \in [6,8]$ - парабола (6,8) -> (8,10).

г) Дано:

График $v_x(t)$ (рис. 58, г). Примем, что одна клетка по оси времени — 1 с, по оси скорости — 1 м/с. $v_{0x}=2$ м/с, $x_0 = 0$ м.

Найти:

Построить графики $a_x(t)$, $x(t)$, $s(t)$.

Решение:

1. График $a_x(t)$:

На участке $t \in [0; 2]$ с: $a_x = \frac{-2-2}{2-0} = -2 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (2; 3]$ с: $a_x = 0 \text{ м/с}^2$.
На участке $t \in (3; 4]$ с: $a_x = \frac{0-(-2)}{4-3} = 2 \text{ м/с}^2$.

2. График $x(t)$:

На участке $t \in [0; 2]$ с: $x(t) = v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2} = 2t-t^2$. $v_x=0$ при $t=1$ с. Максимум в $t=1$ с: $x(1)=1$ м. $x(0)=0, x(2)=0$.
На участке $t \in (2; 3]$ с: $x(t) = x(2)-2(t-2) = -2(t-2)$. $x(3)=-2$ м.
На участке $t \in (3; 4]$ с: $x(t) = x(3)-2(t-3)+\frac{a_x(t-3)^2}{2} = -2-2(t-3)+(t-3)^2$. $x(4)=-3$ м.

3. График $s(t)$:

На участке $t \in [0; 1]$ с: $s(t)=x(t)=2t-t^2$. $s(1)=1$ м.
На участке $t \in (1; 2]$ с: $s(t) = s(1)+|x(t)-x(1)|=1+|2t-t^2-1|=1-(t^2-2t+1)^{-1}=t^2-2t+2$. $s(2)=2$ м.
На участке $t \in (2; 3]$ с: $s(t) = s(2)+|x(t)-x(2)|=2+|-2(t-2)|=2+2(t-2)$. $s(3)=4$ м.
На участке $t \in (3; 4]$ с: $s(t)=s(3)+|x(t)-x(3)|=4+|-2-2(t-3)+(t-3)^2 - (-2)| = 4+2(t-3)-(t-3)^2$. $s(4)=5$ м.

Ответ:

Для случая г:
График $a_x(t)$: от 0 до 2 с $a_x=-2$ м/с$^2$; от 2 до 3 с $a_x=0$ м/с$^2$; от 3 до 4 с $a_x=2$ м/с$^2$.
График $x(t)$: 1) $t \in [0,2]$ - парабола с вершиной (1,1), концы (0,0) и (2,0); 2) $t \in [2,3]$ - прямая (2,0) -> (3,-2); 3) $t \in [3,4]$ - парабола (3,-2) -> (4,-3).
График $s(t)$: 1) $t \in [0,1]$ - парабола (0,0) -> (1,1); 2) $t \in [1,2]$ - парабола (1,1) -> (2,2); 3) $t \in [2,3]$ - прямая (2,2) -> (3,4); 4) $t \in [3,4]$ - парабола (3,4) -> (4,5).