Номер 30.36, страница 146 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.36*. Решите неравенство $\left(x^2 - 7x\right)^2 + 16\left(x^2 - 7x\right) + 60 < 0$.

Данное неравенство $(x^2 - 7x)^2 + 16(x^2 - 7x) + 60 < 0$ можно решить методом замены переменной.

Введение новой переменной

Заметим, что выражение $(x^2 - 7x)$ повторяется. Введем новую переменную $t = x^2 - 7x$. Исходное неравенство примет вид:

$t^2 + 16t + 60 < 0$

Решение квадратного неравенства относительно $t$

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 16t + 60 = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-16 - 4}{2} = -10$

$t_2 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-16 + 4}{2} = -6$

Так как коэффициент при $t^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = t^2 + 16t + 60$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 + 16t + 60 < 0$ выполняется для значений $t$, находящихся между корнями.

$-10 < t < -6$

Обратная замена и решение системы неравенств

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $x^2 - 7x$ вместо $t$:

$-10 < x^2 - 7x < -6$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x^2 - 7x > -10 \\ x^2 - 7x < -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 7x + 10 > 0 \\ x^2 - 7x + 6 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) Решение неравенства $x^2 - 7x + 10 > 0$

Находим корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 10$ направлены вверх, поэтому выражение больше нуля вне интервала между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; 2) \cup (5; \infty)$.

2) Решение неравенства $x^2 - 7x + 6 < 0$

Находим корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Отсюда корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, поэтому выражение меньше нуля внутри интервала между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (1; 6)$.

Нахождение общего решения

Для нахождения решения исходного неравенства необходимо найти пересечение решений системы, то есть общие для обоих множеств значения $x$:

$x \in \big( (-\infty; 2) \cup (5; \infty) \big) \cap (1; 6)$

Рассмотрим пересечение на числовой оси. Интервал $(1; 6)$ пересекается с $(-\infty; 2)$ на промежутке $(1; 2)$.

Интервал $(1; 6)$ пересекается с $(5; \infty)$ на промежутке $(5; 6)$.

Объединяя полученные промежутки, получаем итоговое решение.

Ответ: $(1; 2) \cup (5; 6)$.