Номер 30.29, страница 145 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

30.29. Решите двойное неравенство:

а) $-2 \leq 3x^2 - 4x < 0;$

б) $10x - 35 < x^2 \leq 11x - 18.$

а)

Данное двойное неравенство $-2 \le 3x^2 - 4x < 0$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 - 4x \ge -2 \\ 3x^2 - 4x < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $3x^2 - 4x \ge -2$.

Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 - 4x + 2 \ge 0$.

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 4x + 2 = 0$ и найдем его дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, то парабола $y = 3x^2 - 4x + 2$ полностью находится выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x + 2 \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $x$. Решением является $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3x^2 - 4x < 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 4) < 0$.

Найдем корни уравнения $x(3x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/3$.

Так как это парабола с ветвями, направленными вверх, ее значения будут отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства: $0 < x < 4/3$, или $x \in (0, 4/3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение множеств $(-\infty, +\infty)$ и $(0, 4/3)$, что дает интервал $(0, 4/3)$.

Ответ: $x \in (0, 4/3)$.

б)

Данное двойное неравенство $10x - 35 < x^2 \le 11x - 18$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 10x - 35 < x^2 \\ x^2 \le 11x - 18 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $10x - 35 < x^2$.

Перенесем все члены в правую часть: $0 < x^2 - 10x + 35$.

Рассмотрим неравенство $x^2 - 10x + 35 > 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 35 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 100 - 140 = -40$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, то парабола $y = x^2 - 10x + 35$ полностью находится выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $x^2 - 10x + 35 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$. Решением является $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 \le 11x - 18$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 11x + 18 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 18 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 9$ (так как $2+9=11$ и $2 \cdot 9=18$).

Неравенство можно записать в виде $(x-2)(x-9) \le 0$.

Так как это парабола с ветвями, направленными вверх, ее значения не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение этого неравенства: $2 \le x \le 9$, или $x \in [2, 9]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение множеств $(-\infty, +\infty)$ и $[2, 9]$, что дает отрезок $[2, 9]$.

Ответ: $x \in [2, 9]$.