Номер 23.6, страница 105 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.6. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{c^3}$;

б) $\sqrt{-x^3}$;

в) $\sqrt{-3k^7}$;

г) $\sqrt{-13m^3}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{c^3}$, сначала определим область допустимых значений. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $c^3 \ge 0$, что означает $c \ge 0$.
Далее, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом: $c^3 = c^2 \cdot c$.
Теперь вынесем множитель за знак корня, используя свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$):
$\sqrt{c^3} = \sqrt{c^2 \cdot c} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{c}$.
Поскольку $\sqrt{c^2} = |c|$, получаем $|c|\sqrt{c}$.
Учитывая, что из области допустимых значений мы имеем $c \ge 0$, то $|c| = c$.
Таким образом, итоговое выражение: $c\sqrt{c}$.
Ответ: $c\sqrt{c}$.

б) Для выражения $\sqrt{-x^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x^3 \ge 0$. Умножив обе части на -1, получаем $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$.
Представим подкоренное выражение $-x^3$ в виде произведения $x^2 \cdot (-x)$. Так как $x \le 0$, множитель $-x$ будет неотрицательным ($-x \ge 0$), а $x^2$ всегда неотрицателен.
Применим свойство корня:
$\sqrt{-x^3} = \sqrt{x^2 \cdot (-x)} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{-x} = |x|\sqrt{-x}$.
Поскольку $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.
Следовательно, получаем $-x\sqrt{-x}$.
Ответ: $-x\sqrt{-x}$.

в) Для выражения $\sqrt{-3k^7}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-3k^7 \ge 0$. Разделив обе части на -3, получаем $k^7 \le 0$, что означает $k \le 0$.
Представим подкоренное выражение $-3k^7$ в виде произведения, выделив множитель с четной степенью: $-3k^7 = k^6 \cdot (-3k)$. Множитель $k^6 = (k^3)^2$ всегда неотрицателен. Множитель $-3k$ также неотрицателен, так как $k \le 0$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{-3k^7} = \sqrt{k^6 \cdot (-3k)} = \sqrt{k^6} \cdot \sqrt{-3k} = |k^3|\sqrt{-3k}$.
Поскольку $k \le 0$, то $k^3 \le 0$, и по определению модуля $|k^3| = -k^3$.
Таким образом, итоговое выражение: $-k^3\sqrt{-3k}$.
Ответ: $-k^3\sqrt{-3k}$.

г) Для выражения $\sqrt{-13m^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-13m^3 \ge 0$. Разделив обе части на -13, получаем $m^3 \le 0$, что означает $m \le 0$.
Представим подкоренное выражение $-13m^3$ в виде произведения, выделив множитель с четной степенью: $-13m^3 = m^2 \cdot (-13m)$. Множитель $m^2$ всегда неотрицателен. Множитель $-13m$ также неотрицателен, так как $m \le 0$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{-13m^3} = \sqrt{m^2 \cdot (-13m)} = \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{-13m} = |m|\sqrt{-13m}$.
Поскольку $m \le 0$, то по определению модуля $|m| = -m$.
Следовательно, получаем $-m\sqrt{-13m}$.
Ответ: $-m\sqrt{-13m}$.