Номер 23.2, страница 104 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.2. Пользуясь алгоритмом, вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{12}$;

б) $\sqrt{50}$;

в) $\sqrt{54}$;

г) $\sqrt{99}$;

д) $\sqrt{128}$;

е) $\sqrt{125}$;

ж) $\sqrt{500}$;

з) $\sqrt{270}$.

Для вынесения множителя за знак корня используется следующий алгоритм:

1. Представить подкоренное выражение в виде произведения множителей.
2. Выбрать множители, являющиеся полными квадратами, то есть числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень.
3. Использовать свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, чтобы вынести корень из полного квадрата за знак основного корня.

а)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{12} $, представим число 12 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Наибольший такой множитель — это 4.
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} $
Используя свойство корня из произведения, получаем:
$ \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Ответ: $2\sqrt{3}$

б)

Для выражения $ \sqrt{50} $ представим число 50 как произведение полного квадрата и другого числа. Наибольший квадрат, на который делится 50, — это 25.
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} $
Применяем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $

Ответ: $5\sqrt{2}$

в)

Для выражения $ \sqrt{54} $ найдем наибольший множитель, являющийся полным квадратом. Это число 9.
$ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} $
Используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6} $

Ответ: $3\sqrt{6}$

г)

В выражении $ \sqrt{99} $ представим 99 в виде произведения. Наибольший полный квадрат, являющийся делителем 99, — это 9.
$ \sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} $
Применяем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11} $

Ответ: $3\sqrt{11}$

д)

Для выражения $ \sqrt{128} $ находим наибольший множитель, являющийся полным квадратом. Разложим 128: $ 128 = 2 \cdot 64 $. Число 64 является полным квадратом ($ 8^2 $).
$ \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} $
Используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2} $

Ответ: $8\sqrt{2}$

е)

В выражении $ \sqrt{125} $ представим 125 как произведение полного квадрата и другого числа. $ 125 = 25 \cdot 5 $.
$ \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} $
Применяем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} $

Ответ: $5\sqrt{5}$

ж)

Для выражения $ \sqrt{500} $ находим наибольший множитель, являющийся полным квадратом. $ 500 = 100 \cdot 5 $. Число 100 — это $ 10^2 $.
$ \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} $
Используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{100 \cdot 5} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{5} $

Ответ: $10\sqrt{5}$

з)

В выражении $ \sqrt{270} $ ищем наибольший множитель, являющийся полным квадратом. Разложим 270: $ 270 = 27 \cdot 10 = 3 \cdot 9 \cdot 10 $. Полный квадрат здесь — это 9.
$ \sqrt{270} = \sqrt{9 \cdot 30} $
Применяем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{9 \cdot 30} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{30} = 3\sqrt{30} $
(Число 30 не имеет множителей, являющихся полными квадратами, поэтому дальнейшее упрощение невозможно).

Ответ: $3\sqrt{30}$