Номер 21.26, страница 98 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.26*. Докажите, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

21.26*. Для доказательства того, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным, воспользуемся методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{3}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и числа $p$ и $q$ взаимно просты (то есть их наибольший общий делитель равен 1).

Итак, запишем наше предположение: $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$

$3 = \frac{p^2}{q^2}$

Теперь умножим обе части на $q^2$:

$3q^2 = p^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится нацело на 3. Если квадрат целого числа делится на простое число 3, то и само это число должно делиться на 3. (Доказательство этого факта: любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Его можно представить в виде $n=3k$, $n=3k+1$ или $n=3k+2$. Если $n$ не делится на 3, то его квадрат — это либо $(3k+1)^2 = 9k^2+6k+1 = 3(3k^2+2k)+1$, либо $(3k+2)^2 = 9k^2+12k+4 = 3(3k^2+4k+1)+1$. В обоих случаях остаток от деления на 3 равен 1. Таким образом, если $n^2$ делится на 3, это возможно только тогда, когда само число $n$ делится на 3.)

Итак, мы установили, что $p$ делится на 3. Значит, его можно представить в виде $p = 3k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это выражение ($p = 3k$) в наше уравнение $3q^2 = p^2$:

$3q^2 = (3k)^2$

$3q^2 = 9k^2$

Разделим обе части уравнения на 3:

$q^2 = 3k^2$

Из этого нового равенства следует, что $q^2$ также делится нацело на 3. Применяя тот же самый логический шаг, что и для $p$, мы заключаем, что и само число $q$ должно делиться на 3.

Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 3. Это означает, что у них есть общий делитель 3, и дробь $\frac{p}{q}$ является сократимой. Но это прямо противоречит нашему начальному условию, согласно которому дробь $\frac{p}{q}$ была несократимой.

Возникшее противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt{3}$ является рациональным числом, было неверным.

Следовательно, число $\sqrt{3}$ иррационально. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.