Номер 21.21, страница 97 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.21. Назовите два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{7}$; $\sqrt{11}$; $\sqrt{19}$.

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено иррациональное число вида $ \sqrt{x} $, нужно найти два последовательных целых числа $ n $ и $ n+1 $ таких, что $ n < \sqrt{x} < n+1 $. Это неравенство равносильно неравенству $ n^2 < x < (n+1)^2 $. Таким образом, задача сводится к поиску двух последовательных точных квадратов, между которыми находится подкоренное выражение.

$ \sqrt{7} $

Найдем два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 7. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$ 2^2 = 4 $

$ 3^2 = 9 $

Мы видим, что $ 4 < 7 < 9 $.

Следовательно, мы можем записать двойное неравенство: $ 2^2 < 7 < 3^2 $. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем:

$ \sqrt{2^2} < \sqrt{7} < \sqrt{3^2} $

$ 2 < \sqrt{7} < 3 $

Таким образом, число $ \sqrt{7} $ находится между последовательными целыми числами 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

$ \sqrt{11} $

Найдем два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 11. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$ 3^2 = 9 $

$ 4^2 = 16 $

Мы видим, что $ 9 < 11 < 16 $.

Следовательно, мы можем записать двойное неравенство: $ 3^2 < 11 < 4^2 $. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем:

$ \sqrt{3^2} < \sqrt{11} < \sqrt{4^2} $

$ 3 < \sqrt{11} < 4 $

Таким образом, число $ \sqrt{11} $ находится между последовательными целыми числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

$ \sqrt{19} $

Найдем два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 19. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$ 4^2 = 16 $

$ 5^2 = 25 $

Мы видим, что $ 16 < 19 < 25 $.

Следовательно, мы можем записать двойное неравенство: $ 4^2 < 19 < 5^2 $. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем:

$ \sqrt{4^2} < \sqrt{19} < \sqrt{5^2} $

$ 4 < \sqrt{19} < 5 $

Таким образом, число $ \sqrt{19} $ находится между последовательными целыми числами 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.