Номер 12.37, страница 53 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.37. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2} $;

б) $ \frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2} $.

Для нахождения значения выражения воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.

В числителе: $38^2 - 17^2 = (38 - 17)(38 + 17) = 21 \cdot 55$.

В знаменателе: $72^2 - 16^2 = (72 - 16)(72 + 16) = 56 \cdot 88$.

Теперь подставим полученные произведения в исходную дробь:

$\frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2} = \frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88}$

Чтобы сократить дробь, разложим числа на множители:

$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 11)}{(7 \cdot 8) \cdot (8 \cdot 11)}$

Сократим общие множители 7 и 11 в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{15}{64}$

Ответ: $\frac{15}{64}$

Так же, как и в предыдущем пункте, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Преобразуем числитель:

$39,5^2 - 3,5^2 = (39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5) = 36 \cdot 43$.

Преобразуем знаменатель:

$57,5^2 - 14,5^2 = (57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5) = 43 \cdot 72$.

Подставим результаты в исходное выражение:

$\frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2} = \frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72}$

Сократим дробь на общий множитель 43:

$\frac{36}{72}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 72 это 36:

$\frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$