Номер 11.21, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.21*. Клумба прямоугольной формы окружена дорожкой, ширина которой 1 м. Площадь дорожки равна $26\text{ м}^2$. Найдите ширину клумбы, зная, что ее длина на 5 м больше.

Обозначим ширину клумбы за $x$ метров.

Согласно условию, длина клумбы на 5 м больше ее ширины, следовательно, длина клумбы равна $(x + 5)$ м.

Площадь клумбы ($S_{клумбы}$) вычисляется как произведение ее длины на ширину:
$S_{клумбы} = x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x$

Клумба окружена дорожкой шириной 1 м. Это означает, что клумба вместе с дорожкой образуют больший прямоугольник. Размеры этого большего прямоугольника будут на $1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2$ м больше соответствующих размеров клумбы.

Ширина большего прямоугольника (клумба + дорожка): $x + 2$ м.
Длина большего прямоугольника (клумба + дорожка): $(x + 5) + 2 = x + 7$ м.

Общая площадь ($S_{общая}$), которую занимают клумба и дорожка, равна:
$S_{общая} = (x + 2)(x + 7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$

Площадь дорожки ($S_{дорожки}$) — это разность между общей площадью и площадью клумбы. По условию, площадь дорожки равна 26 м².
Составим и решим уравнение:
$S_{дорожки} = S_{общая} - S_{клумбы}$
$26 = (x^2 + 9x + 14) - (x^2 + 5x)$
$26 = x^2 + 9x + 14 - x^2 - 5x$
$26 = (x^2 - x^2) + (9x - 5x) + 14$
$26 = 4x + 14$
$4x = 26 - 14$
$4x = 12$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$

Следовательно, ширина клумбы равна 3 м.

Проверка:
Ширина клумбы = 3 м.
Длина клумбы = $3 + 5 = 8$ м.
Площадь клумбы = $3 \text{ м} \cdot 8 \text{ м} = 24 \text{ м}^2$.
Ширина с дорожкой = $3 \text{ м} + 2 \text{ м} = 5$ м.
Длина с дорожкой = $8 \text{ м} + 2 \text{ м} = 10$ м.
Общая площадь = $5 \text{ м} \cdot 10 \text{ м} = 50 \text{ м}^2$.
Площадь дорожки = $S_{общая} - S_{клумбы} = 50 \text{ м}^2 - 24 \text{ м}^2 = 26 \text{ м}^2$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 3 м.