Номер 11.16, страница 46 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.16. Выполните умножение двучленов:

a) $(a-1)(a-2)(a-3);$

б) $(2a-1)(2a+1)(4a^2+1).$

а) $(a-1)(a-2)(a-3)$

Для решения этой задачи необходимо последовательно перемножить двучлены. Сначала перемножим первые две скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(a-1)(a-2) = a \cdot a + a \cdot (-2) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-2) = a^2 - 2a - a + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 3a + 2$

Теперь умножим полученный трехчлен на оставшийся двучлен $(a-3)$:

$(a^2 - 3a + 2)(a-3) = a^2 \cdot (a-3) - 3a \cdot (a-3) + 2 \cdot (a-3) = a^3 - 3a^2 - 3a^2 + 9a + 2a - 6$

Снова приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-3a^2 - 3a^2) + (9a + 2a) - 6 = a^3 - 6a^2 + 11a - 6$

Ответ: $a^3 - 6a^2 + 11a - 6$

б) $(2a-1)(2a+1)(4a^2+1)$

В этом выражении можно заметить формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Применим эту формулу к первым двум множителям, где $x=2a$ и $y=1$:

$(2a-1)(2a+1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$

Мы снова видим выражение, соответствующее формуле разности квадратов, но теперь $x=4a^2$ и $y=1$. Применим формулу еще раз:

$(4a^2 - 1)(4a^2 + 1) = (4a^2)^2 - 1^2 = 16a^4 - 1$

Ответ: $16a^4 - 1$