Номер 12.2, страница 48 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.2. Верно ли равенство:

а)

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy;$

б)

$(x-y)^2 = x^2 - y^2 + 2xy;$

в)

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy;$

г)

$(x+y)^2 = y^2 + 2xy + x^2;$

д)

$(x-y)(y+x) = x^2 - y^2;$

е)

$(m+n)(n-m) = m^2 - n^2?$

а) Чтобы проверить верность равенства $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, раскроем скобки в левой части, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применив эту формулу, получаем:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Правая часть данного в задании равенства — это $x^2 + y^2 + 2xy$.

Так как сложение коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), то $x^2 + 2xy + y^2$ и $x^2 + y^2 + 2xy$ являются одним и тем же выражением. Следовательно, равенство верно.

Ответ: да, верно.

б) Проверим равенство $(x - y)^2 = x^2 - y^2 + 2xy$. Для этого раскроем левую часть по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $x^2 - y^2 + 2xy$.

$x^2 - 2xy + y^2 \neq x^2 - y^2 + 2xy$.

Выражения не тождественны. Например, знаки при членах $2xy$ и $y^2$ не совпадают. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) Проверим равенство $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$. Как и в предыдущем пункте, раскроем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Правая часть равенства: $x^2 + y^2 - 2xy$.

Используя коммутативность сложения, мы можем переставить члены в полученном выражении: $x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2xy$. Равенство верно.

Ответ: да, верно.

г) Проверим равенство $(x + y)^2 = y^2 + 2xy + x^2$. Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Правая часть равенства: $y^2 + 2xy + x^2$.

В силу коммутативности сложения, порядок слагаемых не имеет значения, поэтому $x^2 + 2xy + y^2 = y^2 + 2xy + x^2$. Равенство верно.

Ответ: да, верно.

д) Проверим равенство $(x - y)(y + x) = x^2 - y^2$. Левая часть представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Это формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Во второй скобке поменяем слагаемые местами (это возможно из-за коммутативности сложения): $(y + x) = (x + y)$.

Теперь левая часть выглядит так: $(x - y)(x + y)$.

Применив формулу разности квадратов, получаем: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Левая часть совпадает с правой. Равенство верно.

Ответ: да, верно.

е) Проверим равенство $(m + n)(n - m) = m^2 - n^2$. Раскроем скобки в левой части путем перемножения:

$(m + n)(n - m) = m \cdot n + m \cdot (-m) + n \cdot n + n \cdot (-m) = mn - m^2 + n^2 - mn = n^2 - m^2$

Также можно заметить, что $(n-m) = -(m-n)$, тогда $(m+n)(n-m) = (m+n)(-(m-n)) = -(m+n)(m-n) = -(m^2-n^2) = n^2 - m^2$.

Сравним результат $n^2 - m^2$ с правой частью исходного равенства $m^2 - n^2$.

$n^2 - m^2 \neq m^2 - n^2$ (в общем случае).

Следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.