Номер 11.11, страница 46 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.11. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $(a + 5)(a - 4) - (a - 7)(a + 8);$

б) $(b + 6)(2 - b) - (5 - b)(b + 9).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная сократится, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение $(a+5)(a-4)-(a-7)(a+8)$.

Сначала раскроем скобки, умножая многочлен на многочлен:

$(a+5)(a-4) = a \cdot a + a \cdot (-4) + 5 \cdot a + 5 \cdot (-4) = a^2 - 4a + 5a - 20 = a^2 + a - 20$.

$(a-7)(a+8) = a \cdot a + a \cdot 8 - 7 \cdot a - 7 \cdot 8 = a^2 + 8a - 7a - 56 = a^2 + a - 56$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(a^2 + a - 20) - (a^2 + a - 56)$.

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$a^2 + a - 20 - a^2 - a + 56$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (a - a) + (-20 + 56) = 0 + 0 + 36 = 36$.

В результате упрощения мы получили число 36, которое является константой и не зависит от значения переменной $a$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: 36.

б) Аналогично упростим выражение $(b+6)(2-b)-(5-b)(b+9)$.

Раскроем скобки в каждом произведении:

$(b+6)(2-b) = b \cdot 2 + b \cdot (-b) + 6 \cdot 2 + 6 \cdot (-b) = 2b - b^2 + 12 - 6b = -b^2 - 4b + 12$.

$(5-b)(b+9) = 5 \cdot b + 5 \cdot 9 - b \cdot b - b \cdot 9 = 5b + 45 - b^2 - 9b = -b^2 - 4b + 45$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(-b^2 - 4b + 12) - (-b^2 - 4b + 45)$.

Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене:

$-b^2 - 4b + 12 + b^2 + 4b - 45$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-b^2 + b^2) + (-4b + 4b) + (12 - 45) = 0 + 0 - 33 = -33$.

Значение выражения равно -33 и не зависит от переменной $b$. Утверждение доказано.

Ответ: -33.