Номер 10.22, страница 44 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.22*. Многочлен с переменными $x$ и $y$ записан в стандартном виде и представляет собой сумму семи одночленов, каждый из которых имеет степень 7. Этот многочлен представлен в виде произведения одночлена и некоторого нового многочлена. Укажите степень этого одночлена.

Пусть $P(x, y)$ — данный многочлен. По условию, $P(x, y)$ является суммой семи одночленов, и степень каждого из этих одночленов равна 7.

Общий вид одночлена степени 7 с переменными $x$ и $y$ — это $c \cdot x^a y^b$, где $c$ — некоторый коэффициент, а $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию $a+b=7$.

Существует ровно 8 различных пар показателей $(a, b)$, для которых $a+b=7$:$(7,0), (6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6), (0,7)$. Это соответствует восьми различным структурам одночленов: $x^7, x^6y, x^5y^2, x^4y^3, x^3y^4, x^2y^5, xy^6, y^7$.

Поскольку многочлен $P(x, y)$ записан в стандартном виде и является суммой семи одночленов, это означает, что в его состав входят ровно семь из восьми перечисленных выше типов одночленов. Следовательно, один из восьми возможных типов одночленов в многочлене отсутствует.

В условии сказано, что многочлен $P(x, y)$ представлен в виде произведения одночлена $M(x, y)$ и некоторого нового многочлена $Q(x, y)$, то есть $P(x, y) = M(x, y) \cdot Q(x, y)$. Это значит, что одночлен $M(x, y)$ является общим делителем для всех семи одночленов, составляющих многочлен $P(x, y)$.

Заметим, что любой многочлен можно представить в виде такого произведения, если в качестве $M(x, y)$ взять константу (одночлен нулевой степени). Это называется тривиальным разложением. Однако условие задачи, отмеченное звездочкой (*), как правило, подразумевает поиск нетривиального решения. Утверждение, что многочлен «представлен в виде произведения», следует понимать как возможность нетривиального разложения, то есть такого, где степень одночлена $M(x, y)$ больше нуля.

Для того чтобы степень одночлена $M(x, y)$ была больше нуля, он должен содержать хотя бы одну из переменных, $x$ или $y$, в положительной степени.

• Чтобы можно было вынести за скобки множитель $x$ (в некоторой степени), необходимо, чтобы переменная $x$ входила в каждый из семи одночленов многочлена $P(x, y)$. Это возможно только в том случае, если среди них нет одночлена, не содержащего $x$, то есть одночлена вида $c \cdot y^7$ (соответствующего паре показателей $(0,7)$).
• Аналогично, чтобы можно было вынести за скобки множитель $y$, необходимо, чтобы переменная $y$ входила в каждый из семи одночленов. Это возможно, если отсутствует одночлен вида $c \cdot x^7$ (соответствующий паре показателей $(7,0)$).

Если бы в многочлене отсутствовал любой другой тип одночлена (например, $c \cdot x^3y^4$), то многочлен $P(x, y)$ содержал бы и член вида $c_1 \cdot x^7$, и член вида $c_2 \cdot y^7$. В этом случае их наибольший общий делитель не содержал бы ни $x$, ни $y$, то есть был бы константой. Это соответствовало бы только тривиальному разложению (на одночлен нулевой степени).

Следовательно, данное в условии нетривиальное разложение возможно только в двух случаях:

1. Отсутствует одночлен вида $c \cdot y^7$. В этом случае все семь членов многочлена содержат переменную $x$. Минимальная степень $x$ среди них будет 1 (из одночлена $xy^6$), а минимальная степень $y$ будет 0 (из одночлена $x^7$). Наибольший общий делитель одночленов будет иметь вид $C \cdot x^1 y^0 = C \cdot x$. Степень этого одночлена равна 1.
2. Отсутствует одночлен вида $c \cdot x^7$. В этом случае все семь членов многочлена содержат переменную $y$. Минимальная степень $y$ будет 1 (из одночлена $x^6y$), а минимальная степень $x$ будет 0 (из одночлена $y^7$). Наибольший общий делитель одночленов будет иметь вид $C \cdot x^0 y^1 = C \cdot y$. Степень этого одночлена также равна 1.

В обоих случаях, когда возможно нетривиальное разложение, степень выносимого одночлена равна 1. Так как вопрос предполагает единственный ответ, это и есть искомая степень.

Ответ: 1.