Номер 37.26, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.26. Установите с помощью графиков, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - 2y = 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x; \end{cases}$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, задает на координатной плоскости окружность. Центр этой окружности находится в начале координат, точке (0, 0), а ее радиус равен $r = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение, $y = x$, задает прямую линию. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных четвертей и, что важно, проходит через начало координат (0, 0), то есть через центр окружности.

Любая прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее ровно в двух точках (на концах диаметра). Следовательно, графики данных функций имеют две общие точки.

Количество точек пересечения графиков соответствует количеству решений системы.

Ответ: 2 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2; \end{cases}$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, задает окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $y = x^2$, задает параболу. Вершина этой параболы находится в начале координат (0, 0), а ее ветви направлены вертикально вверх. Заметим, что $y$ может принимать только неотрицательные значения ($y \ge 0$), поэтому точки пересечения могут находиться только в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

Вершина параболы (0, 0) лежит внутри окружности. Так как ветви параболы неограниченно уходят вверх, они обязательно пересекут дугу окружности. Поскольку и окружность, и парабола симметричны относительно оси OY, будет две точки пересечения, симметричные друг другу относительно этой оси.

Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - 2y = 0. \end{cases}$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение, $x - 2y = 0$, можно представить в виде $y = \frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой линии, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Аналогично пункту а), прямая проходит через центр окружности. Следовательно, она пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках.

Значит, система имеет две точки пересечения, то есть два решения.

Ответ: 2 решения.