Номер 34.24, страница 167 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.24. Выполните действия:

a) $ (\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}) \cdot \frac{1-5a}{a^2+5a} + \frac{a^2+5}{a+1}; $

б) $ (\frac{b-3}{7b-4} - \frac{b-3}{b-4}) \cdot \frac{7b-4}{9b-3b^2} + \frac{b^2-14}{4-b}. $

а)

Выполним решение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого вынесем общий множитель $(a+5)$ и приведем дроби к общему знаменателю $(5a-1)(a+1)$:

$(\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}) = (a+5) \cdot (\frac{1}{5a-1} + \frac{1}{a+1}) = (a+5) \cdot \frac{a+1+5a-1}{(5a-1)(a+1)} = (a+5) \cdot \frac{6a}{(5a-1)(a+1)} = \frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)}$

2. Упростим второй множитель, вынеся в числителе $-1$ за скобки, а в знаменателе $a$:

$\frac{1-5a}{a^2+5a} = \frac{-(5a-1)}{a(a+5)}$

3. Теперь выполним умножение полученных выражений:

$\frac{6a(a+5)}{(5a-1)(a+1)} \cdot \frac{-(5a-1)}{a(a+5)}$

Сокращаем общие множители $a$, $(a+5)$ и $(5a-1)$:

$\frac{6\cancel{a}(\cancel{a+5})}{(\cancel{5a-1})(a+1)} \cdot \frac{-(\cancel{5a-1})}{\cancel{a}(\cancel{a+5})} = \frac{6 \cdot (-1)}{a+1} = -\frac{6}{a+1}$

4. Выполним сложение с последним слагаемым из исходного выражения:

$-\frac{6}{a+1} + \frac{a^2+5}{a+1} = \frac{-6+a^2+5}{a+1} = \frac{a^2-1}{a+1}$

5. Упростим полученную дробь, разложив числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} = a-1$

Ответ: $a-1$.

б)

Выполним решение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $(b-3)$ и приведем дроби к общему знаменателю $(7b-4)(b-4)$:

$(\frac{b-3}{7b-4} - \frac{b-3}{b-4}) = (b-3) \cdot (\frac{1}{7b-4} - \frac{1}{b-4}) = (b-3) \cdot \frac{b-4-(7b-4)}{(7b-4)(b-4)} = (b-3) \cdot \frac{b-4-7b+4}{(7b-4)(b-4)} = (b-3) \cdot \frac{-6b}{(7b-4)(b-4)} = \frac{-6b(b-3)}{(7b-4)(b-4)}$

2. Упростим второй множитель, вынеся в знаменателе $3b$ за скобки:

$\frac{7b-4}{9b-3b^2} = \frac{7b-4}{3b(3-b)} = \frac{7b-4}{-3b(b-3)}$

3. Теперь выполним умножение полученных выражений:

$\frac{-6b(b-3)}{(7b-4)(b-4)} \cdot \frac{7b-4}{-3b(b-3)}$

Сокращаем общие множители $b$, $(b-3)$, $(7b-4)$ и числовые коэффициенты:

$\frac{-6\cancel{b}(\cancel{b-3})}{(\cancel{7b-4})(b-4)} \cdot \frac{\cancel{7b-4}}{-3\cancel{b}(\cancel{b-3})} = \frac{-6}{-3(b-4)} = \frac{2}{b-4}$

4. Выполним сложение с последним слагаемым. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, используя то, что $4-b = -(b-4)$:

$\frac{2}{b-4} + \frac{b^2-14}{4-b} = \frac{2}{b-4} - \frac{b^2-14}{b-4} = \frac{2 - (b^2-14)}{b-4} = \frac{2-b^2+14}{b-4} = \frac{16-b^2}{b-4}$

5. Упростим полученную дробь, разложив числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{16-b^2}{b-4} = \frac{(4-b)(4+b)}{b-4} = \frac{-(b-4)(4+b)}{b-4} = -(4+b) = -b-4$

Ответ: $-b-4$.