Номер 33.20, страница 160 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.20. Выполните действия с рациональными дробями:

а) $ \frac{3x}{y^2} \cdot \frac{y}{12x^2}; $

б) $ \frac{4a^2}{3b^3} : \frac{8a^3}{9b^2}; $

в) $ \frac{49(x+y)}{y^2} \cdot \frac{y}{7(x+y)^2}; $

г) $ \frac{20(a+b)^2}{3b^3} : \frac{40(a+b)^3}{9b^2}. $

а)

Для того чтобы умножить две рациональные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{y}{12x^2} = \frac{3x \cdot y}{y^2 \cdot 12x^2}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общие из них:

$\frac{3 \cdot x \cdot y}{12 \cdot x^2 \cdot y^2} = \frac{3 \cdot x \cdot y}{4 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y}$

Сокращаем общие множители $3$, $x$ и $y$:

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y}}{4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot \cancel{y} \cdot y} = \frac{1}{4xy}$

Ответ: $\frac{1}{4xy}$

б)

Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{4a^2}{3b^3} : \frac{8a^3}{9b^2} = \frac{4a^2}{3b^3} \cdot \frac{9b^2}{8a^3}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{4a^2 \cdot 9b^2}{3b^3 \cdot 8a^3} = \frac{36a^2b^2}{24a^3b^3}$

Сократим коэффициенты и переменные. Коэффициенты $36$ и $24$ делятся на $12$. Переменные сокращаем по правилу степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{36}{24} = \frac{3}{2}$

$\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

$\frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1} = \frac{1}{b}$

Собираем все вместе:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = \frac{3}{2ab}$

Или, сокращая пошагово:

$\frac{\cancel{4} \cdot 9 \cdot a^2 \cdot b^2}{3 \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot a^3 \cdot b^3} = \frac{\cancel{3} \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^2}{\cancel{3} \cdot 2 \cdot a^3 \cdot b^3} = \frac{3 \cdot \cancel{a^2} \cdot \cancel{b^2}}{2 \cdot a \cdot \cancel{a^2} \cdot b \cdot \cancel{b^2}} = \frac{3}{2ab}$

Ответ: $\frac{3}{2ab}$

в)

Умножаем числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:

$\frac{49(x+y)}{y^2} \cdot \frac{y}{7(x+y)^2} = \frac{49(x+y) \cdot y}{y^2 \cdot 7(x+y)^2}$

Сократим общие множители. $49 = 7^2$, $y^2 = y \cdot y$, $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$:

$\frac{7 \cdot 7 \cdot (x+y) \cdot y}{y \cdot y \cdot 7 \cdot (x+y) \cdot (x+y)}$

Сокращаем $7$, $y$ и $(x+y)$:

$\frac{\cancel{7} \cdot 7 \cdot \cancel{(x+y)} \cdot \cancel{y}}{\cancel{y} \cdot y \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{(x+y)} \cdot (x+y)} = \frac{7}{y(x+y)}$

Ответ: $\frac{7}{y(x+y)}$

г)

Для выполнения деления, заменим его на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{20(a+b)^2}{3b^3} : \frac{40(a+b)^3}{9b^2} = \frac{20(a+b)^2}{3b^3} \cdot \frac{9b^2}{40(a+b)^3}$

Перемножаем дроби:

$\frac{20(a+b)^2 \cdot 9b^2}{3b^3 \cdot 40(a+b)^3}$

Сокращаем числовые коэффициенты и переменные.$20$ и $40$ сокращаются на $20$, $9$ и $3$ сокращаются на $3$:

$\frac{\cancel{20} \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot (a+b)^2 \cdot b^2}{\cancel{3} \cdot \cancel{20} \cdot 2 \cdot b^3 \cdot (a+b)^3} = \frac{3(a+b)^2 b^2}{2b^3 (a+b)^3}$

Теперь сокращаем степени:

$\frac{3 \cdot \cancel{(a+b)^2} \cdot \cancel{b^2}}{2 \cdot b \cdot \cancel{b^2} \cdot (a+b) \cdot \cancel{(a+b)^2}} = \frac{3}{2b(a+b)}$

Ответ: $\frac{3}{2b(a+b)}$