Номер 33.7, страница 158 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.7. Верно ли, что общий знаменатель рациональных дробей $\frac{3ca}{a+4c}$ и $\frac{a-3c}{a^2-4ac}$ равен:

а) $a^3 - 16ac^2$;

б) $a^2 - 16c^2$?

Чтобы определить, является ли предложенное выражение общим знаменателем для двух рациональных дробей, необходимо сначала найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Общим знаменателем будет любое выражение, которое делится нацело на знаменатель каждой из дробей.

Даны две дроби: $ \frac{3ca}{a + 4c} $ и $ \frac{a - 3c}{a^2 - 4ac} $.

Разложим знаменатели этих дробей на множители:

• Знаменатель первой дроби: $ D_1 = a + 4c $. Это выражение уже является простым множителем.
• Знаменатель второй дроби: $ D_2 = a^2 - 4ac = a(a - 4c) $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители из обоих знаменателей. Множители, которые у нас есть: $ (a + 4c) $, $ a $, и $ (a - 4c) $.

Следовательно, НОЗ равен произведению этих множителей: $ НОЗ = a \cdot (a + 4c) \cdot (a - 4c) $.

Используя формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, упростим выражение:

$ НОЗ = a(a^2 - (4c)^2) = a(a^2 - 16c^2) = a^3 - 16ac^2 $.

Теперь проверим предложенные варианты. Общий знаменатель должен делиться на оба исходных знаменателя $ a + 4c $ и $ a(a - 4c) $.

Мы уже установили, что выражение $ a^3 - 16ac^2 $ является наименьшим общим знаменателем. По определению, наименьший общий знаменатель является общим знаменателем.

Проверим делимость на знаменатели исходных дробей:

1. Делится ли $ a^3 - 16ac^2 $ на $ a + 4c $?
$ \frac{a^3 - 16ac^2}{a + 4c} = \frac{a(a-4c)(a+4c)}{a+4c} = a(a-4c) $. Делится нацело.

2. Делится ли $ a^3 - 16ac^2 $ на $ a^2 - 4ac $?
$ \frac{a^3 - 16ac^2}{a^2 - 4ac} = \frac{a(a-4c)(a+4c)}{a(a-4c)} = a+4c $. Делится нацело.

Так как выражение $ a^3 - 16ac^2 $ делится на оба знаменателя, оно является их общим знаменателем.

Ответ: да, верно.

Проверим, является ли выражение $ a^2 - 16c^2 $ общим знаменателем. Для этого оно должно делиться на оба знаменателя исходных дробей.

1. Делится ли $ a^2 - 16c^2 $ на $ a + 4c $?
$ \frac{a^2 - 16c^2}{a + 4c} = \frac{(a-4c)(a+4c)}{a+4c} = a-4c $. Делится нацело.

2. Делится ли $ a^2 - 16c^2 $ на $ a^2 - 4ac $?
$ \frac{a^2 - 16c^2}{a^2 - 4ac} = \frac{(a-4c)(a+4c)}{a(a-4c)} = \frac{a+4c}{a} $. Результат не является многочленом, так как в знаменателе остается множитель $ a $. Следовательно, деление не является целочисленным.

Поскольку выражение $ a^2 - 16c^2 $ не делится на знаменатель второй дроби $ a^2 - 4ac $, оно не может быть общим знаменателем.

Ответ: нет, неверно.