Номер 33.6, страница 158 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

33.6. Приведите дроби к общему знаменателю:

a) $ \frac{1}{32x^4 y^3} $ и $ \frac{1}{24xy^4} $;

б) $ \frac{5z}{z-3y} $ и $ \frac{z}{z^2-3zy} $.

а) Даны дроби $\frac{1}{32x^4y^3}$ и $\frac{1}{24xy^4}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ), который является наименьшим общим кратным (НОК) исходных знаменателей $32x^4y^3$ и $24xy^4$.

1. Найдём НОК для числовых коэффициентов 32 и 24. Для этого разложим их на простые множители:
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
НОК(32, 24) вычисляется как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях: $2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$.

2. Найдём НОК для переменных частей $x^4y^3$ и $xy^4$. Для этого берём каждую переменную с наибольшим показателем степени из имеющихся:
Для переменной $x$ это $x^4$.
Для переменной $y$ это $y^4$.
Следовательно, НОК для переменных частей равно $x^4y^4$.

3. Наименьший общий знаменатель равен произведению НОК коэффициентов и НОК переменных частей: $96x^4y^4$.

4. Определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби.
Для первой дроби $\frac{1}{32x^4y^3}$ дополнительный множитель: $\frac{96x^4y^4}{32x^4y^3} = 3y$.
Для второй дроби $\frac{1}{24xy^4}$ дополнительный множитель: $\frac{96x^4y^4}{24xy^4} = 4x^3$.

5. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{1}{32x^4y^3} = \frac{1 \cdot 3y}{32x^4y^3 \cdot 3y} = \frac{3y}{96x^4y^4}$
$\frac{1}{24xy^4} = \frac{1 \cdot 4x^3}{24xy^4 \cdot 4x^3} = \frac{4x^3}{96x^4y^4}$

Ответ: $\frac{3y}{96x^4y^4}$ и $\frac{4x^3}{96x^4y^4}$.

б) Даны дроби $\frac{5z}{z-3y}$ и $\frac{z}{z^2-3zy}$.

1. Для нахождения общего знаменателя сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби, $z-3y$, уже является простым и не разлагается.

Знаменатель второй дроби, $z^2-3zy$, можно упростить, вынеся общий множитель $z$ за скобки:
$z^2-3zy = z(z-3y)$.

2. Теперь знаменатели дробей имеют вид $(z-3y)$ и $z(z-3y)$. Наименьшим общим знаменателем будет выражение, которое делится на каждый из этих знаменателей без остатка. В данном случае это $z(z-3y)$.

3. Найдём дополнительные множители.
Для первой дроби $\frac{5z}{z-3y}$ дополнительный множитель: $\frac{z(z-3y)}{z-3y} = z$.
Знаменатель второй дроби $\frac{z}{z(z-3y)}$ уже равен общему знаменателю, поэтому дополнительный множитель для неё равен 1.

4. Приведём дроби к общему знаменателю.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $z$:
$\frac{5z}{z-3y} = \frac{5z \cdot z}{(z-3y) \cdot z} = \frac{5z^2}{z(z-3y)} = \frac{5z^2}{z^2-3zy}$.
Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель:
$\frac{z}{z^2-3zy}$.

Ответ: $\frac{5z^2}{z^2-3zy}$ и $\frac{z}{z^2-3zy}$.