Номер 10, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал ежемесячно выпускать 726 изделий.

Пусть $x$ — искомое число процентов, на которое завод дважды увеличивал выпуск продукции.

Первоначальный ежемесячный выпуск составлял 600 изделий. Увеличение на $x$ процентов означает умножение текущего значения на коэффициент $k = (1 + \frac{x}{100})$.

После первого увеличения выпуск составил:$$600 \cdot (1 + \frac{x}{100})$$

После второго увеличения на то же число процентов выпуск составил:$$(600 \cdot (1 + \frac{x}{100})) \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 600 \cdot (1 + \frac{x}{100})^2$$

По условию, в конце года завод стал выпускать 726 изделий. Составим и решим уравнение:$$600 \cdot (1 + \frac{x}{100})^2 = 726$$

Разделим обе части уравнения на 600:$$(1 + \frac{x}{100})^2 = \frac{726}{600}$$

Сократим полученную дробь:$$\frac{726}{600} = \frac{726 \div 6}{600 \div 6} = \frac{121}{100}$$

Уравнение принимает вид:$$(1 + \frac{x}{100})^2 = \frac{121}{100}$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $x$ представляет собой процент увеличения, выражение $1 + \frac{x}{100}$ должно быть положительным, поэтому мы рассматриваем только арифметический корень:$$1 + \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{121}{100}}$$$$1 + \frac{x}{100} = \frac{11}{10}$$$$1 + \frac{x}{100} = 1.1$$

Выразим $\frac{x}{100}$:$$\frac{x}{100} = 1.1 - 1$$$$\frac{x}{100} = 0.1$$

Найдем $x$:$$x = 0.1 \cdot 100$$$$x = 10$$

10. Ответ: 10.