Номер 23.5, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.5. Найдите, при каких значениях переменной значения выраже- ния:

a) $\sqrt{x^2 + 7x + 12}$ больше соответствующих значений выражения $6 - x$;

б) $\sqrt{-x^2 - 8x - 12}$ не меньше соответствующих значений выражения $x + 4$.

а) Значение выражения $\sqrt{x^2 + 7x + 12}$ больше соответствующего значения выражения $6 - x$ означает, что нужно решить неравенство:
$\sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x$
Данное иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} 6 - x < 0 \\ x^2 + 7x + 12 \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ x^2 + 7x + 12 > (6 - x)^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:
$\begin{cases} x > 6 \\ x^2 + 7x + 12 \ge 0 \end{cases}$
Корнями уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$. Неравенство $x^2 + 7x + 12 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)$.
Пересечение множеств $x > 6$ и $(-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)$ дает решение $x \in (6; +\infty)$.

Рассмотрим вторую систему:
$\begin{cases} x \le 6 \\ x^2 + 7x + 12 > 36 - 12x + x^2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 6 \\ 7x + 12 > 36 - 12x \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 6 \\ 19x > 24 \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 6 \\ x > \frac{24}{19} \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $x \in (\frac{24}{19}; 6]$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем:
$(\frac{24}{19}; 6] \cup (6; +\infty) = (\frac{24}{19}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (\mathbf{1}\frac{5}{19}; +\infty)$.

б) Значение выражения $\sqrt{-x^2 - 8x - 12}$ не меньше соответствующего значения выражения $x + 4$ означает, что нужно решить неравенство:
$\sqrt{-x^2 - 8x - 12} \ge x + 4$
Данное иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} x + 4 < 0 \\ -x^2 - 8x - 12 \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ -x^2 - 8x - 12 \ge (x + 4)^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:
$\begin{cases} x < -4 \\ x^2 + 8x + 12 \le 0 \end{cases}$
Корнями уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$ являются $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$. Неравенство $x^2 + 8x + 12 \le 0$ выполняется при $x \in [-6; -2]$.
Пересечение множеств $x < -4$ и $x \in [-6; -2]$ дает решение $x \in [-6; -4)$.

Рассмотрим вторую систему:
$\begin{cases} x \ge -4 \\ -x^2 - 8x - 12 \ge x^2 + 8x + 16 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -4 \\ 2x^2 + 16x + 28 \le 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -4 \\ x^2 + 8x + 14 \le 0 \end{cases}$
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 14 = 0$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 14 = 64 - 56 = 8$. Корни $x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8}}{2} = -4 \pm \sqrt{2}$.
Неравенство $x^2 + 8x + 14 \le 0$ выполняется при $x \in [-4 - \sqrt{2}; -4 + \sqrt{2}]$.
Пересечение множеств $x \ge -4$ и $x \in [-4 - \sqrt{2}; -4 + \sqrt{2}]$ дает решение $x \in [-4; -4 + \sqrt{2}]$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем:
$[-6; -4) \cup [-4; -4 + \sqrt{2}] = [-6; -4 + \sqrt{2}]$.
Ответ: $x \in [-6; -4 + \sqrt{2}]$.