Номер 23.12, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.12. Найдите все значения переменной, при которых значения выражения:

а) $\sqrt{\frac{1}{2-x}}$ меньше соответствующих значений выражения $\sqrt{3-x}$;

б) $\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}$ не больше соответствующих значений выражения $\sqrt{\frac{2x-3}{4x-1}}$.

а) Запишем неравенство в виде $\sqrt{\frac{1}{2-x}} < \sqrt{3-x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны, а знаменатель не должен быть равен нулю. Это приводит к системе неравенств:
1. $\frac{1}{2-x} \ge 0 \implies 2-x > 0 \implies x < 2$.
2. $3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty, 2)$.
В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{\frac{1}{2-x}})^2 < (\sqrt{3-x})^2$
$\frac{1}{2-x} < 3-x$
Так как на ОДЗ выражение $2-x$ строго положительно, можно умножить на него обе части неравенства:
$1 < (3-x)(2-x)$
$1 < 6 - 3x - 2x + x^2$
$x^2 - 5x + 5 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 5 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 5x + 5$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x + 5 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Теперь необходимо найти пересечение этого решения с ОДЗ ($x < 2$).
Заметим, что $\frac{5-\sqrt{5}}{2} < 2$ и $\frac{5+\sqrt{5}}{2} > 2$.
Следовательно, итоговое решение есть пересечение $(-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$ и $(-\infty, 2)$, что дает интервал $(-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2})$.
Ответ: $(-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2})$.

б) Запишем неравенство, учитывая, что "не больше" означает "меньше или равно": $\sqrt{\frac{x-2}{x+2}} \le \sqrt{\frac{2x-3}{4x-1}}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:
1. $\frac{x-2}{x+2} \ge 0$. Решая методом интервалов (с точками -2 и 2), получаем $x \in (-\infty, -2) \cup [2, +\infty)$.
2. $\frac{2x-3}{4x-1} \ge 0$. Корни числителя и знаменателя: $x = \frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{4}$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, \frac{1}{4}] \cup [\mathbf{1}\frac{1}{2}, +\infty)$.
Пересечение этих двух множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup [2, +\infty)$.
На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:
$\frac{x-2}{x+2} \le \frac{2x-3}{4x-1}$
Переносим все члены в левую часть и приводим к общему знаменателю:
$\frac{x-2}{x+2} - \frac{2x-3}{4x-1} \le 0$
$\frac{(x-2)(4x-1) - (2x-3)(x+2)}{(x+2)(4x-1)} \le 0$
$\frac{(4x^2 - x - 8x + 2) - (2x^2 + 4x - 3x - 6)}{(x+2)(4x-1)} \le 0$
$\frac{4x^2 - 9x + 2 - 2x^2 - x + 6}{(x+2)(4x-1)} \le 0$
$\frac{2x^2 - 10x + 8}{(x+2)(4x-1)} \le 0$
Разделим числитель на 2 и разложим на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.
$\frac{2(x-1)(x-4)}{(x+2)(4x-1)} \le 0$
Решаем полученное рациональное неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): -2, $\frac{1}{4}$, 1, 4.
Анализ знаков на интервалах показывает, что неравенство выполняется для $x \in (-2, \frac{1}{4}] \cup [1, 4]$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty, -2) \cup [2, +\infty)$.
Пересечение множества $(-2, \frac{1}{4}] \cup [1, 4]$ с множеством $(-\infty, -2) \cup [2, +\infty)$ дает отрезок $[2, 4]$.
Ответ: $[2, 4]$.