Номер 985, страница 187 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость бруска, $v_0 = 2 \frac{м}{с}$

Коэффициент трения, $\mu = 0.8$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Длину бруска $L$.

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения энергии в форме теоремы об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.

$\Delta K = A_{всех сил}$

В нашем случае на брусок по горизонтали действует только сила трения (когда он находится на шероховатой поверхности). Работа силы тяжести и силы нормальной реакции равна нулю, так как они перпендикулярны перемещению. Таким образом, изменение кинетической энергии бруска равно работе силы трения.

$\Delta K = A_{тр}$

Начальная кинетическая энергия бруска (массой $m$) равна:

$K_0 = \frac{mv_0^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия равна нулю, так как по условию брусок останавливается:

$K_1 = 0$

Следовательно, изменение кинетической энергии:

$\Delta K = K_1 - K_0 = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$

Теперь вычислим работу силы трения. Сила трения не является постоянной. Она зависит от того, какая часть бруска находится на шероховатой поверхности. Пусть брусок имеет длину $L$. Когда передний край бруска сместился на расстояние $x$ ($0 \le x \le L$) по шероховатой поверхности, на этой поверхности находится часть бруска длиной $x$.

Предполагая, что брусок однороден, масса части, находящейся на шероховатой поверхности, пропорциональна ее длине: $m_x = m \frac{x}{L}$.

Сила нормальной реакции, действующая на эту часть, равна $N_x = m_x g = \frac{mgx}{L}$.

Тогда сила трения в данный момент времени равна:

$F_{тр}(x) = \mu N_x = \mu \frac{mgx}{L}$

Работа силы трения, которая является силой, направленной против движения, вычисляется как интеграл силы по перемещению. Брусок останавливается, когда его задняя грань достигает границы поверхностей, то есть когда он полностью переместится на шероховатый участок. Перемещение передней грани при этом составит $L$.

$A_{тр} = \int_0^L -F_{тр}(x) dx = -\int_0^L \mu \frac{mgx}{L} dx$

Вынесем константы за знак интеграла:

$A_{тр} = -\frac{\mu mg}{L} \int_0^L x dx = -\frac{\mu mg}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = -\frac{\mu mg}{L} (\frac{L^2}{2} - 0) = -\frac{\mu mgL}{2}$

Теперь приравняем изменение кинетической энергии и работу силы трения:

$-\frac{mv_0^2}{2} = -\frac{\mu mgL}{2}$

Умножим обе части на $-2$ и разделим на $m$:

$v_0^2 = \mu gL$

Из этого уравнения выразим искомую длину бруска $L$:

$L = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L = \frac{(2 \frac{м}{с})^2}{0.8 \cdot 10 \frac{м}{с^2}} = \frac{4}{8} м = 0.5 м$

Ответ: при длине бруска 0.5 м его задняя грань остановится на границе гладкой и шероховатой поверхностей.