Номер 663, страница 134 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса шара, $m = 3,0$ кг
Угол наклона плоскости, $\alpha = 60^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Модуль силы натяжения нити $T$.

Решение:

Шар находится в равновесии. Условием равновесия твердого тела является равенство нулю векторной суммы всех приложенных к телу сил и равенство нулю суммы моментов этих сил относительно любой оси.

На шар действуют четыре силы:
1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс шара и направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная горизонтально и приложенная к верхней точке шара.
3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, приложенная в точке касания и направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
4. Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, приложенная в точке касания и направленная вдоль наклонной плоскости.

Для решения задачи удобно использовать правило моментов. Выберем ось вращения, проходящую через точку касания шара с наклонной плоскостью (точка P). Преимущество такого выбора в том, что моменты силы реакции опоры $N$ и силы трения $F_{тр}$ относительно этой оси равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через ось вращения.

Условие равновесия моментов записывается как $\sum M = 0$. В нашем случае оно примет вид:

$M_{mg} + M_T = 0$

где $M_{mg}$ — момент силы тяжести, а $M_T$ — момент силы натяжения нити.

Момент силы тяжести $M_{mg}$ стремится вращать шар вниз по наклонной плоскости (например, по часовой стрелке, придадим ему отрицательный знак). Плечо силы тяжести — это перпендикулярное расстояние от оси вращения P до линии действия силы $mg$. Если $r$ — радиус шара, то плечо $d_{mg} = r \sin(\alpha)$.

$M_{mg} = -mg \cdot r \sin(\alpha)$

Момент силы натяжения нити $M_T$ стремится вращать шар вверх по наклонной плоскости (против часовой стрелки, положительный знак). Нить прикреплена к верхней точке шара и направлена горизонтально. Плечо силы $T$ — это перпендикулярное расстояние от оси P до горизонтальной линии действия силы. Оно равно сумме вертикального расстояния от точки P до центра шара ($r \cos(\alpha)$) и радиуса шара $r$.

$d_T = r \cos(\alpha) + r = r(1 + \cos(\alpha))$

$M_T = T \cdot r(1 + \cos(\alpha))$

Подставим выражения для моментов в уравнение равновесия:

$T \cdot r(1 + \cos(\alpha)) - mg \cdot r \sin(\alpha) = 0$

Сокращаем на $r$, так как $r \neq 0$:

$T(1 + \cos(\alpha)) = mg \sin(\alpha)$

Выражаем искомую силу натяжения $T$:

$T = \frac{mg \sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$

Для упрощения выражения применим тригонометрические формулы:

$\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$

$1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Подставив их, получаем:

$T = \frac{mg \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = mg \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = mg \tan(\frac{\alpha}{2})$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T = 3,0 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \tan(\frac{60^\circ}{2}) = 29,4 \cdot \tan(30^\circ)$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то:

$T = \frac{29,4}{\sqrt{3}} \approx \frac{29,4}{1,732} \approx 16,97 \, \text{Н}$

Масса дана с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $T \approx 17$ Н.