Номер 660, страница 134 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус цилиндра: $R$

Угол наклона доски в момент опрокидывания: $\alpha$

Найти:

Высоту цилиндра $H$

Решение:

Цилиндр, стоящий на наклонной плоскости, начнет опрокидываться в тот момент, когда вертикальная линия, проведенная через его центр масс, выйдет за пределы площади опоры. Предельный случай, соответствующий началу опрокидывания, наступает, когда эта вертикальная линия проходит точно через край основания цилиндра.

Поскольку цилиндр однородный, его центр масс (ЦМ) находится на оси симметрии на высоте $H/2$ от основания, где $H$ – высота цилиндра.

Рассмотрим поперечное сечение цилиндра на наклонной плоскости в момент начала опрокидывания. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$.

В этот момент линия действия силы тяжести, которая всегда направлена вертикально вниз и проходит через центр масс, пересекает точку опоры на краю основания цилиндра. Обозначим эту точку (край основания) как P, а центр основания как O.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный следующими точками:

• Вершина 1: Центр масс (ЦМ).
• Вершина 2: Центр основания цилиндра (O).
• Вершина 3: Точка на вертикальной линии, проходящей через ЦМ, находящаяся на одном уровне с O.

Однако удобнее рассмотреть другой треугольник. Построим прямоугольный треугольник, катетами которого являются:

1. Отрезок, соединяющий центр масс (ЦМ) с центром основания (О). Его длина равна $H/2$. Этот катет перпендикулярен наклонной плоскости.
2. Отрезок, соединяющий центр основания (О) с точкой опоры на краю основания (P). Его длина равна радиусу цилиндра $R$. Этот катет лежит на наклонной плоскости.

В момент опрокидывания вертикальная линия, проходящая через ЦМ, совпадает с гипотенузой, соединяющей ЦМ и точку P. Нет, это неверно. Вертикальная линия, проходящая через ЦМ, проходит через точку P.

Угол между перпендикуляром к наклонной плоскости (линия ЦМ-О) и вертикалью (линия действия силы тяжести) равен углу наклона плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, образованный точками ЦМ, О и Р. Прямой угол находится в точке О. Катеты этого треугольника — это расстояние от центра масс до основания ($H/2$) и радиус основания ($R$). Угол $\alpha$ в этом треугольнике находится у вершины ЦМ.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OP}{ЦМ-О}$

Подставляем известные длины катетов:

$\tan\alpha = \frac{R}{H/2} = \frac{2R}{H}$

Из этого выражения найдем высоту цилиндра $H$:

$H = \frac{2R}{\tan\alpha}$

Используя тригонометрическое тождество $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$, можно записать ответ в другом виде:

$H = 2R \cot\alpha$

Ответ:

Высота цилиндра равна $H = 2R \cot\alpha$.