Номер 642, страница 131 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Расстояние от центра стержня до ближайшей опоры $l = 30$ см.

Разность модулей сил реакций опор $|N_1 - N_2| = 0.2 P$, где $P = mg$ - сила тяжести стержня.

Перевод в систему СИ:

$l = 0.3$ м.

Найти:

Расстояние между опорами $L$.

Решение:

Пусть стержень лежит на двух опорах, создающих силы реакции $N_1$ и $N_2$. Сила тяжести $P=mg$ приложена к центру масс стержня, который из-за однородности совпадает с его геометрическим центром. Обозначим центр стержня как точку O. Пусть первая опора находится на расстоянии $l_1$ от центра, а вторая — на расстоянии $l_2$. Так как стержень находится в равновесии, сумма сил и сумма моментов сил, действующих на него, равны нулю.

Первое условие равновесия (равенство сил):

Силы реакции опор $N_1$ и $N_2$ направлены вверх, а сила тяжести $P$ — вниз. В проекции на вертикальную ось получаем:

$N_1 + N_2 - P = 0$

$N_1 + N_2 = P$ (1)

Второе условие равновесия (равенство моментов):

Выберем в качестве оси вращения центр стержня O. Момент силы тяжести $P$ относительно этой точки равен нулю. Моменты сил реакций опор $N_1$ и $N_2$ должны уравновешивать друг друга. Так как опоры находятся по разные стороны от центра, чтобы моменты уравновесились, они должны быть направлены в разные стороны.

$N_1 \cdot l_1 = N_2 \cdot l_2$ (2)

По условию, расстояние от центра до ближайшей опоры равно $l = 30$ см. Пусть это будет первая опора, то есть $l_1 = l$. Следовательно, $l_1 < l_2$.

Из уравнения моментов (2) можно выразить отношение сил: $\frac{N_1}{N_2} = \frac{l_2}{l_1}$. Поскольку $l_2 > l_1$, то и $N_1 > N_2$. Это означает, что опора, расположенная ближе к центру тяжести, несет большую нагрузку.

Разность модулей сил по условию составляет 20% от силы тяжести:

$|N_1 - N_2| = 0.2 P$

Так как мы установили, что $N_1 > N_2$, мы можем записать это уравнение без знака модуля:

$N_1 - N_2 = 0.2 P$ (3)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений (1) и (3) для нахождения сил $N_1$ и $N_2$:

$\begin{cases} N_1 + N_2 = P \\ N_1 - N_2 = 0.2 P \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(N_1 + N_2) + (N_1 - N_2) = P + 0.2 P$

$2N_1 = 1.2 P$

$N_1 = 0.6 P$

Теперь найдем $N_2$, подставив $N_1$ в уравнение (1):

$0.6 P + N_2 = P$

$N_2 = P - 0.6 P = 0.4 P$

Зная силы реакции, мы можем найти расстояние $l_2$ из уравнения моментов (2):

$N_1 \cdot l_1 = N_2 \cdot l_2$

$0.6 P \cdot l_1 = 0.4 P \cdot l_2$

Сила тяжести $P$ сокращается:

$0.6 l_1 = 0.4 l_2$

$l_2 = \frac{0.6}{0.4} l_1 = 1.5 l_1$

Подставляем известное значение $l_1 = l = 30$ см:

$l_2 = 1.5 \cdot 30 \text{ см} = 45 \text{ см}$

Расстояние между опорами $L$ равно сумме расстояний от центра до каждой опоры, так как они расположены по разные стороны от центра:

$L = l_1 + l_2$

$L = 30 \text{ см} + 45 \text{ см} = 75 \text{ см}$

Ответ: 75 см.