Номер 498, страница 105 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$t_1 = 2,0 \text{ с}$

$h = 60 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$\Delta t$ — ?

Решение:

Движение обеих капель является свободным падением без начальной скорости. Выберем систему отсчета, связанную с землей. Начало координат (y=0) расположим на уровне крыши, а ось OY направим вертикально вниз. В этом случае уравнение движения для капли имеет вид:

$y(t) = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $\Delta t$ — искомый промежуток времени, на который первая капля оторвалась от крыши раньше второй.

В момент наблюдения, который наступил через время $t_1$ после начала падения второй капли, время полета второй капли составляет $t_2 = t_1$. За это время вторая капля пройдет расстояние:

$y_2 = \frac{gt_1^2}{2}$

Первая капля к этому моменту времени находится в полете дольше на $\Delta t$. Следовательно, ее время полета $t_{первая} = t_1 + \Delta t$. Расстояние, которое она прошла, равно:

$y_1 = \frac{g(t_1 + \Delta t)^2}{2}$

По условию задачи, расстояние между каплями в этот момент равно $h$. Это расстояние является разностью путей, пройденных первой и второй каплями:

$h = y_1 - y_2$

Подставим выражения для $y_1$ и $y_2$ в эту формулу:

$h = \frac{g(t_1 + \Delta t)^2}{2} - \frac{gt_1^2}{2}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую величину $\Delta t$. Умножим обе части на 2 и разделим на $g$:

$\frac{2h}{g} = (t_1 + \Delta t)^2 - t_1^2$

Перенесем $t_1^2$ в левую часть:

$\frac{2h}{g} + t_1^2 = (t_1 + \Delta t)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку время $t_1 + \Delta t$ — положительная величина, берем только положительное значение корня:

$t_1 + \Delta t = \sqrt{\frac{2h}{g} + t_1^2}$

Отсюда находим $\Delta t$:

$\Delta t = \sqrt{\frac{2h}{g} + t_1^2} - t_1$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta t = \sqrt{\frac{2 \cdot 60 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2} + (2,0 \text{ с})^2} - 2,0 \text{ с}$

$\Delta t = \sqrt{\frac{120}{10} \text{ с}^2 + 4,0 \text{ с}^2} - 2,0 \text{ с}$

$\Delta t = \sqrt{12 \text{ с}^2 + 4,0 \text{ с}^2} - 2,0 \text{ с}$

$\Delta t = \sqrt{16 \text{ с}^2} - 2,0 \text{ с}$

$\Delta t = 4,0 \text{ с} - 2,0 \text{ с} = 2,0 \text{ с}$

Ответ: первая капля оторвалась от крыши на 2,0 с раньше второй.