Номер 209, страница 51 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_{01} = v_{02} = 0 \frac{м}{с}$

$a = 2,0 \frac{м}{с^2}$

$s = 200 \text{ м}$

Найти:

$v_{отн} - ?$

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось Ox вдоль дороги от первого автомобиля ко второму. Начало отсчета ($x=0$) поместим в начальное положение первого автомобиля. В этой системе отсчета начальная координата первого автомобиля $x_{01}=0$, а второго $x_{02}=s$.

Оба автомобиля начинают движение из состояния покоя, поэтому их начальные скорости равны нулю ($v_{01}=v_{02}=0$). Движение обоих автомобилей равноускоренное. Уравнение координаты для равноускоренного движения в общем виде: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Для первого автомобиля, движущегося в положительном направлении оси Ox: $x_0 = 0, v_0 = 0, a_1 = a$. Уравнение его движения:

$x_1(t) = \frac{at^2}{2}$

Для второго автомобиля, движущегося навстречу первому (в отрицательном направлении оси Ox): $x_0 = s, v_0 = 0, a_2 = -a$. Уравнение его движения:

$x_2(t) = s - \frac{at^2}{2}$

Автомобили встретятся в момент времени $t_{встр}$, когда их координаты станут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$\frac{at_{встр}^2}{2} = s - \frac{at_{встр}^2}{2}$

Перенесем слагаемое с $t_{встр}$ в левую часть уравнения:

$at_{встр}^2 = s$

Отсюда можем найти время до встречи:

$t_{встр} = \sqrt{\frac{s}{a}}$

Подставим числовые значения:

$t_{встр} = \sqrt{\frac{200 \text{ м}}{2,0 \frac{м}{с^2}}} = \sqrt{100 \text{ с}^2} = 10 \text{ с}$

Теперь найдем скорости автомобилей в момент встречи. Уравнение скорости для равноускоренного движения: $v(t) = v_0 + at$.

Скорость первого автомобиля в момент встречи:

$v_1 = a \cdot t_{встр} = 2,0 \frac{м}{с^2} \cdot 10 \text{ с} = 20 \frac{м}{с}$

Скорость второго автомобиля в момент встречи (проекция на ось Ox):

$v_2 = -a \cdot t_{встр} = -2,0 \frac{м}{с^2} \cdot 10 \text{ с} = -20 \frac{м}{с}$

Знак "минус" указывает, что скорость второго автомобиля направлена против оси Ox. Модуль скорости второго автомобиля равен $|v_2| = 20 \frac{м}{с}$.

Модуль относительной скорости движения автомобилей равен модулю векторной разности их скоростей: $v_{отн} = |\vec{v_1} - \vec{v_2}|$.

Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости направлены в противоположные стороны. В проекции на ось Ox:

$v_{отн} = v_1 - v_2 = 20 \frac{м}{с} - (-20 \frac{м}{с}) = 20 \frac{м}{с} + 20 \frac{м}{с} = 40 \frac{м}{с}$

Таким образом, модуль относительной скорости равен сумме модулей скоростей каждого автомобиля.

$v_{отн} = |v_1| + |v_2| = 20 \frac{м}{с} + 20 \frac{м}{с} = 40 \frac{м}{с}$

Ответ: $40 \frac{м}{с}$.