Номер 1061, страница 201 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса каждого свинцового шара: $m$

Модуль скорости первого шара: $v_1$

Модуль скорости второго шара: $v_2$

Удельная теплоемкость свинца: $c$

Столкновение: центральное, абсолютно неупругое

Найти:

Изменение температуры шаров: $\Delta T$

Решение:

Поскольку система шаров замкнутая, для нее выполняется закон сохранения импульса. При абсолютно неупругом столкновении шары слипаются и продолжают движение как единое целое. Выберем ось OX, направленную по вектору скорости первого шара. Тогда скорость второго шара, движущегося навстречу, будет иметь проекцию $-v_2$.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m v_1 - m v_2 = (m+m) u$

где $u$ — скорость шаров после столкновения.

$m(v_1 - v_2) = 2m u$

Отсюда находим скорость шаров после столкновения:

$u = \frac{v_1 - v_2}{2}$

Столкновение является неупругим, поэтому часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию шаров. Найдем потерю кинетической энергии системы.

Кинетическая энергия системы до столкновения:

$E_{k1} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2}$

Кинетическая энергия системы после столкновения:

$E_{k2} = \frac{(m+m) u^2}{2} = \frac{2m u^2}{2} = m u^2$

Подставим выражение для скорости $u$:

$E_{k2} = m \left(\frac{v_1 - v_2}{2}\right)^2 = \frac{m(v_1 - v_2)^2}{4} = \frac{m(v_1^2 - 2v_1v_2 + v_2^2)}{4}$

Потерянная кинетическая энергия $\Delta E_k$ равна количеству теплоты $Q$, выделившемуся при столкновении:

$Q = \Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = \left(\frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2}\right) - \frac{m(v_1^2 - 2v_1v_2 + v_2^2)}{4}$

Приведем к общему знаменателю:

$Q = \frac{2m v_1^2 + 2m v_2^2 - m v_1^2 + 2m v_1v_2 - m v_2^2}{4} = \frac{m v_1^2 + 2m v_1v_2 + m v_2^2}{4}$

Сворачиваем числитель по формуле квадрата суммы:

$Q = \frac{m(v_1 + v_2)^2}{4}$

Это количество теплоты идет на нагревание двух шаров. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле $Q = c_{total} m_{total} \Delta T$. В нашем случае общая масса $m_{total} = 2m$, а удельная теплоемкость свинца равна $c$.

$Q = c \cdot (2m) \cdot \Delta T$

Приравняем два выражения для $Q$:

$c \cdot (2m) \cdot \Delta T = \frac{m(v_1 + v_2)^2}{4}$

Сократим массу $m$ и выразим изменение температуры $\Delta T$:

$2 c \Delta T = \frac{(v_1 + v_2)^2}{4}$

$\Delta T = \frac{(v_1 + v_2)^2}{8c}$

Ответ: $\Delta T = \frac{(v_1 + v_2)^2}{8c}$