Номер 1032, страница 196 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г}$

$m_2 = 400 \text{ г}$

$v_1 = 10.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 0.4 \text{ кг}$

Найти:

$v_{2, max}$

Решение:

Рассматриваемая система, состоящая из двух брусков и пружины, является замкнутой в горизонтальном направлении, поскольку поверхность гладкая (трение отсутствует), а все внешние силы (силы тяжести и силы нормальной реакции) уравновешены. Для такой системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения полной механической энергии.

В начальный момент времени второй брусок покоится ($v_2 = 0$), а пружина не деформирована, поэтому ее потенциальная энергия равна нулю. Начальный импульс системы равен импульсу первого бруска:

$p_{нач} = m_1 v_1$

Начальная механическая энергия системы равна кинетической энергии первого бруска:

$E_{нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Скорость второго бруска будет максимальной ($v_{2,max}$) в тот момент, когда его ускорение станет равным нулю. Ускорение второму бруску сообщает сила упругости пружины ($F_{упр}$). Следовательно, для максимальной скорости $v_2$ должно выполняться условие $F_{упр} = 0$. Это означает, что пружина в этот момент снова не деформирована, и ее потенциальная энергия равна нулю.

Пусть в момент, когда скорость второго бруска максимальна, скорость первого бруска равна $v_1'$. Запишем законы сохранения для этого момента.

Закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_{2,max}$ (1)

Закон сохранения механической энергии (потенциальная энергия пружины в начальном и конечном состояниях равна нулю):

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_{2,max})^2}{2}$

$m_1 v_1^2 = m_1 (v_1')^2 + m_2 (v_{2,max})^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $v_1'$ и $v_{2,max}$. Решим эту систему. Выразим $v_1'$ из уравнения (1):

$v_1' = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_{2,max}}{m_1}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$m_1 v_1^2 = m_1 \left( \frac{m_1 v_1 - m_2 v_{2,max}}{m_1} \right)^2 + m_2 (v_{2,max})^2$

$m_1 v_1^2 = \frac{(m_1 v_1 - m_2 v_{2,max})^2}{m_1} + m_2 (v_{2,max})^2$

Умножим обе части на $m_1$:

$m_1^2 v_1^2 = (m_1 v_1 - m_2 v_{2,max})^2 + m_1 m_2 (v_{2,max})^2$

Раскроем скобки:

$m_1^2 v_1^2 = m_1^2 v_1^2 - 2 m_1 m_2 v_1 v_{2,max} + m_2^2 (v_{2,max})^2 + m_1 m_2 (v_{2,max})^2$

Сократим $m_1^2 v_1^2$ и перенесем слагаемые:

$2 m_1 m_2 v_1 v_{2,max} = (m_2^2 + m_1 m_2) (v_{2,max})^2$

$2 m_1 m_2 v_1 v_{2,max} = m_2(m_1 + m_2) (v_{2,max})^2$

Поскольку $v_{2,max} \neq 0$ и $m_2 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $m_2 v_{2,max}$:

$2 m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v_{2,max}$

Отсюда выражаем искомую максимальную скорость второго бруска:

$v_{2,max} = \frac{2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в СИ:

$v_{2,max} = \frac{2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{0.1 \text{ кг} + 0.4 \text{ кг}} = \frac{2.0}{0.5} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v_{2, max} = 4.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.