Номер 5, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

5. На координатной плоскости изобразите параллелограмм $ABCD$, где $A(3; 2)$, $B(2; 7)$, $C(6; 7)$, $D(7; 2)$. Постройте параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$, симметричный параллелограмму $ABCD$ относительно оси $Oy$.

Построение параллелограмма ABCD

Для построения параллелограмма ABCD на координатной плоскости необходимо отметить точки с заданными координатами и соединить их последовательно.

• A(3; 2)
• B(2; 7)
• C(6; 7)
• D(7; 2)

Убедимся, что полученная фигура является параллелограммом, проверив равенство векторов противоположных сторон.

• Вектор $\vec{AD}$ имеет координаты $(7-3; 2-2) = (4; 0)$.
• Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты $(6-2; 7-7) = (4; 0)$.

Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, стороны AD и BC равны и параллельны.

• Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(2-3; 7-2) = (-1; 5)$.
• Вектор $\vec{DC}$ имеет координаты $(6-7; 7-2) = (-1; 5)$.

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, стороны AB и DC равны и параллельны. Следовательно, фигура ABCD является параллелограммом.

Построение параллелограмма A₁B₁C₁D₁, симметричного параллелограмму ABCD относительно оси Oy

Симметрия фигуры относительно оси ординат (оси Oy) означает, что для каждой точки фигуры с координатами $(x; y)$ соответствующая симметричная точка будет иметь координаты $(-x; y)$. То есть, абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный, а ордината (координата $y$) остается неизменной.

Найдем координаты вершин параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, применив это правило к каждой вершине исходного параллелограмма ABCD:

• Для точки A(3; 2) симметричной будет точка $A_1(-3; 2)$.
• Для точки B(2; 7) симметричной будет точка $B_1(-2; 7)$.
• Для точки C(6; 7) симметричной будет точка $C_1(-6; 7)$.
• Для точки D(7; 2) симметричной будет точка $D_1(-7; 2)$.

Построим оба параллелограмма на одной координатной плоскости.

Ответ:

Координаты вершин искомого параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, симметричного параллелограмму $ABCD$ относительно оси $Oy$, следующие: $A_1(-3; 2)$, $B_1(-2; 7)$, $C_1(-6; 7)$, $D_1(-7; 2)$. Построение параллелограммов представлено на рисунке.