Номер 3, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

3. Изобразите отрезок $AB$ и ось $l$, не пересекающую отрезок $AB$. Постройте отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезок $AB$ относительно прямой $l$.

Для решения задачи необходимо выполнить построение отрезка, симметричного данному, относительно оси. Осевая симметрия — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры преобразуется в точку, симметричную ей относительно заданной прямой, называемой осью симметрии.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $l$, не пересекающая его. Чтобы построить симметричный ему отрезок $A_1B_1$, достаточно найти симметричные образы для его конечных точек, $A$ и $B$, а затем соединить их.

Алгоритм построения

Построение выполняется последовательно для каждой из конечных точек отрезка.

1. Построение точки $A_1$, симметричной точке $A$.

   Из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения как $H_A$. Затем на продолжении перпендикуляра за прямую $l$ откладываем отрезок $H_A A_1$ такой, что его длина равна длине отрезка $A H_A$. Таким образом, точка $A_1$ является искомой, так как прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $A A_1$. Математически это записывается как $A H_A \perp l$ и $|A H_A| = |H_A A_1|$.

2. Построение точки $B_1$, симметричной точке $B$.

   Аналогично, из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $l$ и отмечаем точку пересечения $H_B$. На продолжении этого перпендикуляра за ось $l$ откладываем отрезок $H_B B_1$, равный по длине отрезку $B H_B$. Точка $B_1$ будет симметрична точке $B$ относительно прямой $l$. Соответственно, $B H_B \perp l$ и $|B H_B| = |H_B B_1|$.

3. Построение отрезка $A_1B_1$.

   Соединяем полученные точки $A_1$ и $B_1$ прямой линией. Полученный отрезок $A_1B_1$ и есть искомый отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $l$.

Ниже представлено графическое изображение этого построения:

Важно отметить, что осевая симметрия является изометрией, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, длина отрезка $A_1B_1$ будет в точности равна длине исходного отрезка $AB$.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$, построенный согласно приведенному алгоритму и изображенный на рисунке, является симметричным отрезку $AB$ относительно прямой $l$.