Номер 31.36, страница 150 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

31.36*. Точки $(n^2; 3n)$ и $(1; 3n)$ принадлежат графику функции $y=\frac{k}{x}$, определите $k$ и $n$.

Поскольку обе точки, $(n^2; 3n)$ и $(1; 3n)$, принадлежат графику функции $y = \frac{k}{x}$, их координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Составим систему уравнений, подставив координаты каждой точки в уравнение функции.

Для точки $(n^2; 3n)$ подставляем $x = n^2$ и $y = 3n$, получая первое уравнение:$3n = \frac{k}{n^2}$

Для точки $(1; 3n)$ подставляем $x = 1$ и $y = 3n$, получая второе уравнение:$3n = \frac{k}{1}$, что равносильно $k = 3n$.

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:$ \begin{cases} 3n = \frac{k}{n^2} \\ k = 3n \end{cases} $

Подставим выражение для $k$ из второго уравнения в первое:$3n = \frac{3n}{n^2}$

Из определения функции $y = \frac{k}{x}$ следует, что знаменатель $x$ не может быть равен нулю. Для точки $(n^2; 3n)$ это означает, что $x = n^2 \neq 0$, и следовательно, $n \neq 0$.
Поскольку $n \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $3n = \frac{3n}{n^2}$ на $3n$ (так как $3n \neq 0$):
$\frac{3n}{3n} = \frac{3n}{n^2 \cdot 3n}$
$1 = \frac{1}{n^2}$

Отсюда находим $n^2$:
$n^2 = 1$
Это уравнение имеет два решения для $n$: $n = 1$ и $n = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $k$ для каждого из найденных значений $n$, используя уравнение $k = 3n$.

При $n = 1$:
$k = 3 \cdot 1 = 3$

При $n = -1$:
$k = 3 \cdot (-1) = -3$

Таким образом, мы получили две пары возможных значений для $n$ и $k$. Обе пары являются решением задачи.

Ответ: $n=1, k=3$ или $n=-1, k=-3$.