Номер 1.74, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.74*. Найдите наименьшее из чисел, являющихся одновременно степенью чисел:

а) 5 и 10;

б) 3 и 81 — и не являющихся при этом степенью числа 27.

а) 5 и 10

Пусть искомое число равно $N$. По условию, $N$ является одновременно степенью числа 5 и степенью числа 10. Это означает, что существуют целые показатели $x$ и $y$ такие, что $N = 5^x$ и $N = 10^y$. Поскольку искомое число должно быть наименьшим, будем рассматривать натуральные числа, а значит $N>0$.

Из равенства $5^x = 10^y$ и разложения $10 = 2 \cdot 5$ следует, что $5^x = (2 \cdot 5)^y = 2^y \cdot 5^y$.

Согласно основной теореме арифметики, разложение целого числа на простые множители единственно. Для выполнения равенства показатели степеней при одинаковых простых основаниях в обеих частях должны быть равны. Сравним показатели для простого множителя 2: в левой части ($5^x$) его показатель равен 0, в то время как в правой части ($2^y \cdot 5^y$) его показатель равен $y$. Следовательно, должно выполняться $y=0$.

Если $y=0$, то $N = 10^0 = 1$. Тогда из равенства $N=5^x$ следует, что $5^x = 1$, откуда $x=0$. Таким образом, единственное число, которое является степенью и 5, и 10 — это 1 (при допущении нулевых показателей).

Теперь проверим дополнительное условие: число $N$ не должно являться степенью числа 27. Число 1 является степенью 27, так как $1 = 27^0$. Следовательно, $N=1$ не удовлетворяет этому условию.

Если же под "степенью" понимать степень с натуральным показателем (т.е. $x \ge 1, y \ge 1$), то полученное нами условие $y=0$ приводит к противоречию. Это означает, что чисел больше 1, удовлетворяющих первому условию, не существует.

Таким образом, чисел, удовлетворяющих всем условиям, не существует.

Ответ: таких чисел не существует.

б) 3 и 81

Пусть искомое число равно $N$. По условию, $N$ является одновременно степенью чисел 3 и 81. Это означает, что для некоторых натуральных показателей $x$ и $y$ выполняются равенства:

$N = 3^x$

$N = 81^y$

Поскольку $81 = 3^4$, второе равенство можно переписать как $N = (3^4)^y = 3^{4y}$. Приравняв оба выражения для $N$, получаем $3^x = 3^{4y}$, откуда следует, что $x=4y$.

Это означает, что любое искомое число должно иметь вид $N=3^k$, где показатель $k$ является натуральным числом, кратным 4.

По второму условию, число $N$ не должно являться степенью числа 27. Степени числа 27 имеют вид $27^z = (3^3)^z = 3^{3z}$ для некоторого натурального показателя $z$. Следовательно, $N \ne 3^{3z}$, что означает $3^k \ne 3^{3z}$, или $k \ne 3z$. Таким образом, показатель $k$ не должен быть кратен 3.

Итак, нам нужно найти наименьшее натуральное число $k$, которое делится на 4, но не делится на 3. Чтобы найти наименьшее число $N=3^k$, необходимо найти наименьший такой показатель $k$.

Перечислим натуральные числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, ... Найдем среди них первое, которое не делится на 3. Число 4 не делится на 3. Это и есть наименьший подходящий показатель.

Искомое наименьшее число равно $N = 3^k = 3^4 = 81$.

Проверка: $81=3^4$ (степень 3), $81=81^1$ (степень 81). $81$ не является степенью 27, так как $27^1 = 27$, а $27^2 = 729$.

Ответ: 81.