Номер 22.8, страница 99 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.8. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{\frac{0,49 \cdot 49}{36}}$;

б) $\sqrt{\frac{1,44}{1,69 \cdot 0,25}}$;

в) $\sqrt{7 \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{25}}$;

г) $\sqrt{4 \frac{21}{25} \cdot 3,24}$.

а) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{\frac{0,49 \cdot 49}{36}} $ воспользуемся свойствами квадратного корня: корень из частного равен частному корней ($ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $) и корень из произведения равен произведению корней ($ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $).

Применим эти свойства к нашему выражению:

$ \sqrt{\frac{0,49 \cdot 49}{36}} = \frac{\sqrt{0,49 \cdot 49}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{0,49} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{36}} $

Теперь вычислим значения каждого корня:

$ \sqrt{0,49} = 0,7 $ (так как $ 0,7^2 = 0,49 $)

$ \sqrt{49} = 7 $ (так как $ 7^2 = 49 $)

$ \sqrt{36} = 6 $ (так как $ 6^2 = 36 $)

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$ \frac{0,7 \cdot 7}{6} = \frac{4,9}{6} $

Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{4,9 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{49}{60} $

Ответ: $ \frac{49}{60} $

б) Рассмотрим выражение $ \sqrt{\frac{1,44}{1,69 \cdot 0,25}} $. Используем те же свойства квадратного корня.

$ \sqrt{\frac{1,44}{1,69 \cdot 0,25}} = \frac{\sqrt{1,44}}{\sqrt{1,69 \cdot 0,25}} = \frac{\sqrt{1,44}}{\sqrt{1,69} \cdot \sqrt{0,25}} $

Вычислим значения корней:

$ \sqrt{1,44} = 1,2 $ (так как $ 1,2^2 = 1,44 $)

$ \sqrt{1,69} = 1,3 $ (так как $ 1,3^2 = 1,69 $)

$ \sqrt{0,25} = 0,5 $ (так как $ 0,5^2 = 0,25 $)

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{1,2}{1,3 \cdot 0,5} = \frac{1,2}{0,65} $

Чтобы упростить полученную дробь, умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$ \frac{1,2 \cdot 100}{0,65 \cdot 100} = \frac{120}{65} $

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:

$ \frac{120 \div 5}{65 \div 5} = \frac{24}{13} $

Ответ: $ \frac{24}{13} $

в) Найдем значение выражения $ \sqrt{7\frac{1}{9} \cdot \frac{16}{25}} $. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$ 7\frac{1}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{63 + 1}{9} = \frac{64}{9} $

Теперь выражение выглядит так: $ \sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{16}{25}} $.

Используем свойство корня из произведения, а затем корня из частного:

$ \sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{64}{9}} \cdot \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} $

Вычисляем значения корней:

$ \sqrt{64} = 8 $, $ \sqrt{9} = 3 $, $ \sqrt{16} = 4 $, $ \sqrt{25} = 5 $.

Подставляем значения и перемножаем дроби:

$ \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{32}{15} $

Ответ: $ \frac{32}{15} $

г) Вычислим значение выражения $ \sqrt{4\frac{21}{25} \cdot 3,24} $. Для удобства преобразуем оба множителя под корнем в обыкновенные дроби.

Преобразуем смешанное число:

$ 4\frac{21}{25} = \frac{4 \cdot 25 + 21}{25} = \frac{100 + 21}{25} = \frac{121}{25} $

Преобразуем десятичную дробь:

$ 3,24 = \frac{324}{100} $

Подставим дроби в исходное выражение:

$ \sqrt{\frac{121}{25} \cdot \frac{324}{100}} $

Применим свойства корней:

$ \sqrt{\frac{121}{25}} \cdot \sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{100}} $

Вычислим значения корней:

$ \sqrt{121} = 11 $, $ \sqrt{25} = 5 $, $ \sqrt{324} = 18 $ (так как $ 18^2 = 324 $), $ \sqrt{100} = 10 $.

Подставим вычисленные значения и выполним умножение:

$ \frac{11}{5} \cdot \frac{18}{10} = \frac{11 \cdot 18}{5 \cdot 10} = \frac{198}{50} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{198 \div 2}{50 \div 2} = \frac{99}{25} $

Этот результат можно также записать в виде десятичной дроби $ 3,96 $.

Ответ: $ \frac{99}{25} $