Номер 20.13, страница 90 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.13. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2 \\ \frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1 \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений необходимо сначала упростить каждое уравнение.

Исходная система:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2, \\ \frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1. \end{cases} $$

1. Упростим первое уравнение.

Умножим обе части уравнения $\frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2$ на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$ 2 \cdot \frac{1}{2}(2x - y) - 2 \cdot 1 = 2(y - 2) $$

$$ 2x - y - 2 = 2y - 4 $$

Соберем слагаемые с переменными в левой части, а константы — в правой:

$$ 2x - y - 2y = -4 + 2 $$

$$ 2x - 3y = -2 $$

2. Упростим второе уравнение.

Для уравнения $\frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1$ найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5. Это 20. Умножим обе части уравнения на 20:

$$ 20 \cdot \frac{1}{4}(3x - 7) = 20 \cdot \left(\frac{1}{5}(2y - 3) + 1\right) $$

$$ 5(3x - 7) = 4(2y - 3) + 20 $$

Раскроем скобки:

$$ 15x - 35 = 8y - 12 + 20 $$

$$ 15x - 35 = 8y + 8 $$

Соберем слагаемые с переменными в левой части, а константы — в правой:

$$ 15x - 8y = 8 + 35 $$

$$ 15x - 8y = 43 $$

3. Решим полученную систему линейных уравнений.

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = -2, \\ 15x - 8y = 43. \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$$ 2x = 3y - 2 \implies x = \frac{3y - 2}{2} $$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$$ 15\left(\frac{3y - 2}{2}\right) - 8y = 43 $$

Умножим обе части на 2:

$$ 15(3y - 2) - 16y = 86 $$

$$ 45y - 30 - 16y = 86 $$

$$ 29y = 116 $$

$$ y = \frac{116}{29} \implies y = 4 $$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 4$ в выражение для $x$:

$$ x = \frac{3(4) - 2}{2} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

4. Проверка.

Подставим найденные значения $x=5$ и $y=4$ в исходные уравнения.

Первое уравнение: $\frac{1}{2}(2 \cdot 5 - 4) - 1 = 4 - 2 \implies \frac{1}{2}(6) - 1 = 2 \implies 3 - 1 = 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Второе уравнение: $\frac{1}{4}(3 \cdot 5 - 7) = \frac{1}{5}(2 \cdot 4 - 3) + 1 \implies \frac{1}{4}(8) = \frac{1}{5}(5) + 1 \implies 2 = 1 + 1 \implies 2 = 2$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(5; 4)$.