Номер 20.10, страница 90 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.10. Задуманы два числа. Если к половине первого числа прибавить удвоенное второе, то в результате получится 21, а если от утроенного второго числа отнять треть первого, то в результате получится 12. Найдите задуманные числа.

Пусть первое задуманное число — это $x$, а второе — $y$.

Из первого условия "если к половине первого числа прибавить удвоенное второе, то в результате получится 21", составим уравнение:$$ \frac{x}{2} + 2y = 21 $$

Из второго условия "если от утроенного второго числа отнять треть первого, то в результате получится 12", составим второе уравнение:$$ 3y - \frac{x}{3} = 12 $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:$$ \begin{cases} \frac{x}{2} + 2y = 21 \\ 3y - \frac{x}{3} = 12 \end{cases} $$

Чтобы упростить систему, избавимся от знаменателей. Умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения на 3:$$ \begin{cases} 2 \cdot (\frac{x}{2} + 2y) = 2 \cdot 21 \\ 3 \cdot (3y - \frac{x}{3}) = 3 \cdot 12 \end{cases} $$В результате получим:$$ \begin{cases} x + 4y = 42 \\ 9y - x = 36 \end{cases} $$

Для удобства поменяем местами слагаемые во втором уравнении:$$ \begin{cases} x + 4y = 42 \\ -x + 9y = 36 \end{cases} $$

Теперь решим систему методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:$$ (x + 4y) + (-x + 9y) = 42 + 36 $$$$ 13y = 78 $$

Отсюда находим $y$:$$ y = \frac{78}{13} $$$$ y = 6 $$

Подставим найденное значение $y = 6$ в первое уравнение исходной упрощенной системы ($x + 4y = 42$), чтобы найти $x$:$$ x + 4 \cdot 6 = 42 $$$$ x + 24 = 42 $$$$ x = 42 - 24 $$$$ x = 18 $$

Таким образом, первое задуманное число равно 18, а второе — 6.

Проверим найденные значения:
1. Половина первого числа ($18/2=9$) плюс удвоенное второе ($2 \cdot 6=12$) равно $9 + 12 = 21$. Условие выполняется.
2. Утроенное второе число ($3 \cdot 6=18$) минус треть первого ($18/3=6$) равно $18 - 6 = 12$. Условие выполняется.

Ответ: 18 и 6.